Rozwinąć w szereg taylora

[Kamil_dobry]

Funkcję
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{3x+1}{ x^{2} -x-6}}\)
rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ x_{0} = 1}\)

Generalnie sposób z wyznaczeniem n-tej pochodnej wydaje mi się zbyt pracochłonny, pewnie jest inny. Potrafię funkcję zamienić na:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{3x+1}{ x^{2} -x-6} = \frac{1}{x+2} + \frac{2}{x-3} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{ \infty } (- \frac{x}{2}) ^{n} - \frac{2}{3}\sum_{n=0}^{ \infty } (\frac{x}{3}) ^{n}}\)
i dalej połączyć to w jeden szereg, ale nie wiem jak to się ma do rozwinięcia w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ x_{0} = 1}\)

[luka52]

Pomysł dobry, ale trzeba go nieco zmienić. Mianownicie można zapisać:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x+2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{(x-1)}{3} }}\)

i teraz to odpowiednio zapisać w postaci sumy potęg \(\displaystyle{ (x-1)}\).