Całka nieoznaczona z pierwiastkiem w mianowniku

[szczepanczyk]

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu takiej całki:
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{ x^2\sqrt{x^2+9} }}\)

[MarkoseK]

\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{ x^2\sqrt{x^2+9} }=\int\frac{\sqrt{x^2+9}}{ x^2(x^2+9)}dx=\frac{1}{9}\int (\frac{\sqrt{x^2+9}}{x^2}-\frac{\sqrt{x^2+9}}{x^2+9})dx=\frac{1}{9}\int \frac{\sqrt{x^2+9}}{x^2}dx-\frac{1}{9}\int \frac{1}{\sqrt{x^2+9}}dx}\)

Potem podstawienia Eulera

[Mariusz M]

Lepiej od razu drugie podstawienie Eulera zastosować
lub jak kto woli podstawienie z różniczką dwumienną

MarkoseK, przy takim rozpisaniu całkowanie przez części załatwia sprawę i nie trzeba
podstawienia Eulera stosować


\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{ x^2\sqrt{x^2+9} }\\
\sqrt{x^2+9}=xt+3\\
x^2+9=x^2t^2+6xt+9\\
x=xt^2+6t\\
x-xt^2=6t\\
x\left( 1-t^2\right)=6t\\
x= \frac{6t}{1-t^2}\\
xt+3=\frac{6t^2+3-3t^2}{1-t^2}=\frac{3\left( 1+t^2\right) }{1-t^2}\\
\mbox{d}x =\frac{6\left( 1-t^2\right)+2t \cdot 6t }{\left( 1-t^2\right)^2 } \mbox{d}t\\
\mbox{d}x = \frac{6\left( 1+t^2\right) }{\left( 1-t^2\right)^2 } \mbox{d}t \\
=\int{ \frac{\left( 1-t^2\right)^2 }{36t^2} \cdot \frac{1-t^2}{3\left( 1+t^2\right) } \cdot \frac{6\left( 1+t^2\right) }{\left( 1-t^2\right)^2 } \mbox{d}t }\\
= \frac{1}{18}\int{ \frac{1-t^2}{t^2} \mbox{d}t}\\}\)

[MarkoseK]

Prawda, wystarczy pierwszą raz przez części, dzięki za zwrócenie uwagi