Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
\(\displaystyle{ 1.}\) W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego. Okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) jest okręgiem o środku w punkcie \(\displaystyle{ I}\) i leżącym wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Na okręgu \(\displaystyle{ \omega}\) obieramy punkt \(\displaystyle{ A_{1}}\) tak aby \(\displaystyle{ IA_1\perp BC}\). Analogicznie definiujemy punkty \(\displaystyle{ B_{1}}\) i \(\displaystyle{ C_{1}}\). Pokazać, że proste \(\displaystyle{ AA_1}\), \(\displaystyle{ BB_1}\) i \(\displaystyle{ CC_1}\) przecinają się w jednym punkcie.
\(\displaystyle{ 2}\). Niech \(\displaystyle{ p}\) oznacza liczbę pierwszą. Pokazać, że dla dowolnych różnych dodatnich liczb całkowitych \(\displaystyle{ a_{1}}\), \(\displaystyle{ a_{2}}\),... \(\displaystyle{ a_{p+1}}\) istnieją takie indeksy \(\displaystyle{ i}\) i \(\displaystyle{ j}\) ( \(\displaystyle{ 1 \le i < j \le p+1}\)) takie, że \(\displaystyle{ \frac{max(a_{i}, a_{j})}{NWD(a_{i}, a_{j})} \ge p+1}\).
\(\displaystyle{ 3}\). Na przyjęciu jest \(\displaystyle{ C}\) chłopców i \(\displaystyle{ D}\) dziewczynek i \(\displaystyle{ D \ge 2C-1}\). Każdy chłopiec zaprasza dziewczynkę do pierwszego tańca. Pokazać, że pierwszy taniec może być zorganizowny w taki sposób aby każdy chłopiec tańczył z dziewczyną którą zna lub wszystkie dziewczyny znane przez tego chłopca nie tańczyły.
\(\displaystyle{ 4}\). Niech \(\displaystyle{ {a_{n}}}\) i \(\displaystyle{ {b_{n}}}\) będą ciągami liczb rzeczywistych takimi, że \(\displaystyle{ a_{n+1} = 2b_{n} - a_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ b_{n+1}=2a_{n} - b_{n}}\) dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 1}\). Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ a_{n} \ge 0}\) dla wszystkich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) to \(\displaystyle{ a_{1}=b_{1}}\).
Ostatnio zmieniony 9 cze 2012, o 22:18 przez Coach, łącznie zmieniany 1 raz.
tradycyjnie - okrąg wpisany w \(\displaystyle{ ABC}\) jako jednostkowy. To, że \(\displaystyle{ \omega}\) zawiera się w \(\displaystyle{ ABC}\) pozwala nam wyliczyć proste \(\displaystyle{ A_1B_1, A_1C_1,B_1C_1}\), zamieniamy tezę z Desarguesa i wystarczy doliczyć
2:
Z zsd będą dwie równe reszty i \(\displaystyle{ nwd(a,a+kp)=nwd(a,kp)}\).
Ostatnio zmieniony 10 cze 2012, o 10:51 przez kaszubki, łącznie zmieniany 1 raz.
Jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ S_n=a_n+b_n}\) oraz \(\displaystyle{ R_n=a_n-b_n}\), to nietrudno się przekonać, że \(\displaystyle{ S_n}\) jest ciągiem stałym, a \(\displaystyle{ R_{n+1}=-3R_n}\). Łatwo stąd wyznaczyć wzory na \(\displaystyle{ S_n}\) i \(\displaystyle{ R_n}\), a stąd też na \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\): \(\displaystyle{ a_n=\frac 12 \left( a_1+b_1 +(-3)^{n-1}(a_1-b_1)\right)\\
b_n=\frac 12 \left( a_1+b_1 -(-3)^{n-1}(a_1-b_1)\right)}\)
Gdyby było \(\displaystyle{ a_1-b_1>0}\), to dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) parzystych byłoby \(\displaystyle{ a_n<0}\), a gdyby było \(\displaystyle{ a_1-b_1<0}\) to dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych byłoby \(\displaystyle{ a_n<0}\), w obu wypadkach wbrew założeniu. W takim razie musi być \(\displaystyle{ a_1-b_1=0}\) czyli \(\displaystyle{ a_1=b_1}\), czego należało dowieść.
panie Kanapo, wzorcówka do zadania 1 jest sprytniejsza niż to co napisałem poniżej?
1:
D,E,F - rzuty I na BC, CA, AB; K,L,M - przecięcia dwusiecznych kątów z przeciwległymi bokami; X,Y,Z - przecięcia prostych \(\displaystyle{ AA_1}\), itd z przeciwległymi bokami
liczymy sobie z Menelaosa \(\displaystyle{ \frac{DX}{XK} = \frac{DA_1}{A_1I} \cdot \frac{IA}{AK} = \lambda \cdot \frac{b+c}{a+b+c}}\)
i stąd dalej sobie można policzyć \(\displaystyle{ \frac{BX}{XC}}\) i wymnożyć z analogicznymi ułamkami i sprawdzić że wyjdzie 1
Oznaczmy jako B - zbiór chłopców, G - zbiór dziewczynek, L - największy zbiór chłopców, którzy w sumie znają mniej dziewczynek, niż ich jest (tych chłopców), P - zbiór tych dziewczynek, które znają chłopcy ze zbioru L. Z tych definicji wynika, że zbiory B L oraz G P spełniają założenia twierdzenia Halla. Tak więc przyporządkujmy chłopcom z B L dziewczynki z G P, zaś chłopcom z L dziewczynki z G P, które jeszcze nie mają partnera - będzie ich co najmniej 2C - |L| - |B L| >= C >= |L|. Łatwo sprawdzić, że to przyporządkowanie spełnia wszystkie założenia.
Zauważmy, że spostrzeżenie kaszubkiego działa, jeśli wszystkie liczby są niepodzielne przez p i wystarcza, ze jest ich p. Zapiszmy teraz \(\displaystyle{ a_i=k_ip^{l_i}}\). Rozważmy następujące przypadki:
1) Pewne dwa spośród \(\displaystyle{ k_1,k_2,k_3,\dots,k_{p+1}}\) są takie same oraz różnica odpowiednich liczb spośród \(\displaystyle{ l_i}\) jest większa niż 1, wtedy oczywiście \(\displaystyle{ \frac{max(a_{i}, a_{j})}{NWD(a_{i}, a_{j})} \ge p^2}\) dla pewnych \(\displaystyle{ i,j}\). Zauważmy, że pod ten przypadek podpada sytuacja, gdy pewne 3 spośród \(\displaystyle{ k_i}\) są takie same.
2) Wszystkie \(\displaystyle{ k_i}\) są różne lub jedna z wartości powtarza się dwukrotnie. Zaaplikujmy teraz lemat kaszubkiego do liczb \(\displaystyle{ k_1,k_2,k_3,\dots,k_{p+1}}\) (wyrzucając ewentualnie powtórkę). Dostajemy, że dla pewnych \(\displaystyle{ i,j}\). \(\displaystyle{ \frac{max(k_{i}, k_{j})}{NWD(k_{i}, k_{j})} \ge p+1}\). Jednakże \(\displaystyle{ max(a_{i}, a_{j})\ge max(k_{i}, k_{j})\cdot min(p^{l_i},p^{l_j})}\). Ponadto \(\displaystyle{ NWD(a_{i}, a_{j})=NWD(k_{i}, k_{j})\cdot min(p^{l_i},p^{l_j})}\). Zatem \(\displaystyle{ \frac{max(a_{i}, a_{j})}{NWD(a_{i}, a_{j})}\ge \frac{max(k_{i}, k_{j})}{NWD(k_{i}, k_{j})}=p+1}\).
3) Wśród \(\displaystyle{ k_i}\) co najmniej dwie wartości powtarzają się dwukrotnie, ponadto przy obu różnica wykładników \(\displaystyle{ p}\) wynosi 1 (inaczej podpada to pod przypadek 1.). Oznaczmy te 4 liczby przez \(\displaystyle{ p^ab,p^{a+1}b,p^cd,p^{c+1}d}\).
Rozważmy następujące przypadki:
a)\(\displaystyle{ a=c}\). Wtedy zakładamy, że \(\displaystyle{ b>d}\) i mamy \(\displaystyle{ NWD(p^{a+1}b,p^cd)\le p^a\frac{b}{2}}\), zatem \(\displaystyle{ \frac{max(p^{a+1}b, p^cd)}{NWD(p^{a+1}b,p^cd)} \ge 2p}\)
b)\(\displaystyle{ a\neq c}\) (b.s.o.d. \(\displaystyle{ a>c}\)). Wtedy \(\displaystyle{ NWD(p^{a+1}b,p^cd)\le p^cb\le \frac{p^{a+1}b}{p^2}}\), zatem \(\displaystyle{ \frac{max(p^{a+1}b, p^cd)}{NWD(p^{a+1}b,p^cd)}\ge \frac{p^{a+1}b}{NWD(p^{a+1}b,p^cd)}\ge p^2}\)
