Szereg 3.25 z Krysickiego

[gerberotto]

Znalezc granice szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \sqrt[2n+1]{x}-\sqrt[2n-1]{x} \right)}\)

doszedlem do tego ze
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \sqrt[2n+1]{x}-\sqrt[2n-1]{x} \right) =\sqrt[2n+1]{x}-x}\)

i juz nie za bardzo wiem co dalej, probowalem liczyc granice tego wyrazenia ale mi wychodzily same dziwactwa, jak to ugryzc?

[dexter90]

Wielokrotnie rozwiązywany na forum.....

270915.htm#p4813789

[gerberotto]

ok tez doszedlem do tego ze to jest \(\displaystyle{ 1-x}\) ale dlaczego w odpowiedziach jest:

\(\displaystyle{ 1}\) przy \(\displaystyle{ x>0\\}\)
\(\displaystyle{ 0}\) przy \(\displaystyle{ x=0\\}\)
\(\displaystyle{ -1}\) przy \(\displaystyle{ x<0\\}\)

??

[MrOmega]

Rozwiązuję teraz to zadanie i mam problem. Wiem, że to pytanie było zadane 2 lata temu, ale chociaż jest podany wynik to mam to samo pytanie co autor pytania w poście wyżej.

Co by nie zrobić wychodzi mi:

\(\displaystyle{ 1-x}\)

Dlaczego tak jest w odpowiedziach? Po prostu... WTF?! Że co, że niby

\(\displaystyle{ 1-x=\sgn x}\)

??

[Dasio11]

Raczej

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \sqrt[2n+1]{x}-\sqrt[2n-1]{x} \right) = \begin{cases} 1-x & \text{gdy } x > 0 \\ -x & \text{gdy } x = 0 \\ -1-x & \text{gdy } x < 0 \end{cases}.}\)

Jest tak dlatego, że

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n+1]{x} = \begin{cases} 1 & \text{gdy } x > 0 \\ 0 & \text{gdy } x = 0 \\ -1 & \text{gdy } x < 0 \end{cases}.}\)

[MrOmega]

Dziękuję Ale tak się zastanawiam... nie powinno być

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \sqrt[2n+1]{x}-\sqrt[2n-1]{x} \right) = \begin{cases} 1-x & \text{gdy } x > 0 \\ -x & \text{gdy } x = 0 \end{cases}}\)

A dla \(\displaystyle{ x<0}\) undefined?

[kacper218]

Pierwiastki są stopnia nieparzystego, zatem istnieją z liczb ujemnych.

[MrOmega]

A, tak, przepraszam Ale znowu był błąd w Krysickim. Trochę to frustrujące...