[Analiza] Równość z całką

[darek20]

Wykaż równość

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(e^x-x+1)^2+\pi^2} = \frac{1}{2}}\)

[luka52]

Gdyby to jeszcze była prawda
Ma być \(\displaystyle{ +}\) zamiast \(\displaystyle{ -}\) przy \(\displaystyle{ \pi^2}\) i w sumie metodami analizy zespolonej można rozwiązać.

[darek20]

ok dzieki

[luka52]

Bierzemy \(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{(e^z - z + 1)^2 + \pi^2}}\) i szukamy biegunów w górnej półpłaszczyźnie.
Mamy: \(\displaystyle{ e^z - z + 1 = \pm i \pi}\), jak je zróżniczkujemy, to dostaniemy \(\displaystyle{ e^z = 1}\) - czyli \(\displaystyle{ z}\) jest czysto urojoną liczbą. Podstawmy \(\displaystyle{ z = it}\):

\(\displaystyle{ e^{i t} - i t + 1 = \pm i \pi \iff \begin{cases} \cos t + 1 & = 0 \\ \sin t - t & = \pm \pi \end{cases}}\)

Z tego, że \(\displaystyle{ \cos t = -1}\) mamy dalej, że \(\displaystyle{ z = i \pi}\). Sprawdzamy, pasuje.
Liczymy residuum:

\(\displaystyle{ \text{res} \left( f, i \pi \right) = \lim_{z \to i \pi} \frac{z - i \pi}{(e^z - z + 1)^2 + \pi^2}}\)

Tutaj przyznam, że nie wpadłem na żaden sprytny pomysł, więc rozwinąłem mianownik w otoczeniu \(\displaystyle{ z = i \pi}\), co dało: \(\displaystyle{ - \pi^2 + 4 i \pi (z - i \pi ) + \ldots + \pi^2}\). Ostatecznie całeczka równa się:

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(e^x-x+1)^2+\pi^2} = 2 \pi i \cdot \frac{1}{4 i \pi} = \frac{1}{2}}\)

-edit-
Nie no bzdurę napisałem - z \(\displaystyle{ e^z = 1}\) wcale nie wynika, że \(\displaystyle{ z}\) jest czysto urojone.-- 14 cze 2012, 18:48 --Trzeba inaczej poszukać biegunów:

\(\displaystyle{ e^z = z-1\pm i \pi = w(z) \Rightarrow z = w(z) - 1 \mp i \pi}\)
\(\displaystyle{ e^z = e^{w(z) + 1 \pm i \pi} = -e^{w(z)+1} = w(z)}\)
\(\displaystyle{ e = (-w(z)) e^{-w(z)} \Rightarrow w(z) = - W(e) = 1}\)
gdzie \(\displaystyle{ W}\) to funkcja W Lamberta (a raczej jedna z jej gałęzi). To daje \(\displaystyle{ z = 1 -1 \mp i \pi}\) a stąd mamy pasujący biegun \(\displaystyle{ z = i \pi}\).