Oblicz długość promienia okręgu

MathMaster · Post autor: **MathMaster** » 3 cze 2012, o 23:13

W trapez \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisano okrąg. Punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) są punktami styczności odpowiednio z podstawą \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ DC}\). Wiedząc, że \(\displaystyle{ DF=5\mbox{ cm}}\) i \(\displaystyle{ AE = 20\mbox{ cm}}\), oblicz długość promienia tego okręgu.

Nie wiedzę zależności pomiędzy odcinkami, a promieniem.

ares41 · Post autor: **ares41** » 3 cze 2012, o 23:31

Rozważyć odcinek \(\displaystyle{ EF}\)

MathMaster · Post autor: **MathMaster** » 5 cze 2012, o 18:34

Rozważyłem i dalej nie wiem.

ares41 · Post autor: **ares41** » 5 cze 2012, o 19:42

No więc co możesz o nim powiedzieć ?

MathMaster · Post autor: **MathMaster** » 11 cze 2012, o 01:01

Nic ciekawego, może jakieś bardziej konstruktywne sugestie?

anna_ · Post autor: **anna_** » 11 cze 2012, o 01:40

Dziwne, pewnie masz zły rysunek. Przecież to wysokość trapezu.

MathMaster · Post autor: **MathMaster** » 11 cze 2012, o 22:45

No dobra jest to wysokość, ponadto , dwukrotność promienia. Co dalej? Przecież nic nie zrobię bez odcinka\(\displaystyle{ \left| AD\right|}\)

ares41 · Post autor: **ares41** » 11 cze 2012, o 22:55

Twierdzenie o odcinkach stycznych + Pitagoras.

MathMaster · Post autor: **MathMaster** » 13 cze 2012, o 23:33

znam, co dalej?

ares41 · Post autor: **ares41** » 13 cze 2012, o 23:40

Fajnie, że znasz, ale trzeba je jeszcze zastosować.

MathMaster · Post autor: **MathMaster** » 14 cze 2012, o 00:05

Gdybym wiedział jak je zastosować to bym nie pytał na forum o te zadanie tylko dawno je rozwiązał. Czy na prawdę ciężko powiedzieć coś więcej nie musisz mi rozwiązywać całego zadania

Majeskas · Post autor: **Majeskas** » 14 cze 2012, o 00:09

Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie środkiem okręgu.
Z analizy odpowiednich kątów wynika, że \(\displaystyle{ \Delta AES\sim \Delta DSF}\). Teraz wystarczy zapisać odpowiednią proporcję i mamy co trzeba.

ares41 · Post autor: **ares41** » 14 cze 2012, o 00:12

MathMaster pisze:Gdybym wiedział jak je zastosować to bym nie pytał na forum o te zadanie tylko dawno je rozwiązał. Czy na prawdę ciężko powiedzieć coś więcej nie musisz mi rozwiązywać całego zadania

Zapisanie równania wynikającego z tw. Pitagorasa to już rozwiązanie zadania. Jedyne co mogę dopowiedzieć to to, że z tw. o odcinkach stycznych możesz wyznaczyć długość jednego z boków trapezu, który jest jednocześnie bokiem pewnego trójkąta.
Więcej to już będzie gotowiec.

MathMaster · Post autor: **MathMaster** » 14 cze 2012, o 00:14

No tak w sumie wtedy by było proste. Tylko jak dowieść, że są podobne?-- 14 cze 2012, o 00:27 --tw. o odcinkach stycznych daje mi tylko tyle, że kawałek odcinka \(\displaystyle{ \left| DA\right|}\) jest równy \(\displaystyle{ 5}\) i co z tego?

Majeskas · Post autor: **Majeskas** » 14 cze 2012, o 00:33

Niech \(\displaystyle{ |\angle EAS|=\alpha,\,|\angle FDS|=\beta}\)

\(\displaystyle{ |\angle ASE|=90^\circ-\alpha}\)

\(\displaystyle{ |\angle DSF|=90^\circ-\beta}\)

Zauważmy, że odcinki \(\displaystyle{ AS,DS}\) zawierają się w dwusiecznych kątów \(\displaystyle{ BAD}\) i \(\displaystyle{ ADC}\), stąd

\(\displaystyle{ |\angle DAS|=\alpha}\)

\(\displaystyle{ |\angle ADS|=\beta}\)

\(\displaystyle{ |\angle ASD|=180^\circ-(|\angle DAS|+|\angle ADS|)=180^\circ-(\alpha+\beta)}\)

\(\displaystyle{ |\angle ASE|+|\angle ASD|+|\angle DSF|=180^\circ}\)

\(\displaystyle{ 180^\circ-(\alpha+\beta)+90^\circ-\alpha+90^\circ-\beta=180^\circ}\)

\(\displaystyle{ \alpha+\beta=90^\circ}\)

A z tego już wynika rzeczone podobieństwo.