Równanie II rzędu sprawdzenie

[Kerkyros]

Witam prosiłbym o pomoc, co zrobić dalej:
\(\displaystyle{ yy''+\frac{y'}{y}-(y')^{2}=0 \qquad y \neq 0
\\
y'=u(y) \qquad y''=u' \cdot u(y)
\\
u^{2}u'+\frac{u}{y}-u^{2}=0 \qquad :u \neq 0
\\
uu'-u=-\frac{1}{y}
\\
u \cdot \frac{du}{dy}-u=-\frac{1}{y}}\)
Czy to jest dobrze?
Jeśli tak, to co dalej?

[mmttdd]

Niezupełnie, po podstawieniu będzie:
\(\displaystyle{ yuu'+ \frac{u}{y}-u^2=0 \\
u'+ \frac{1}{y^2}- \frac{u}{y}=0}\)
I masz równanie niejednorodne.
Można to też zrobić bez podstawiania:
\(\displaystyle{ yy''-(y')^{2}=-\frac{y'}{y} \\
\frac{yy''-(y')^{2}}{y^2}=-\frac{y'}{y^3}}\)
i zauważyć, że z lewej strony mamy pochodną ilorazu.