granica ciągów geometrycznych ze stałą

[gerberotto]

Mam problem z rozumowaniem rozwiazania tego zadania:

\(\displaystyle{ \lim \frac{1+a+a^2+...+a^n}{1+\frac14+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{4^n}}}\)

wg odpowiedzi:
dla \(\displaystyle{ \left| a\right|<1 \lim=\frac{3}{4(1-a)}}\) i to jest zrozumiale, ale dla \(\displaystyle{ \left| a\right|\geq1}\)ciag jest rozbiezny.

i tu nie rozumiem dwoch rzeczy:
1. dlaczego \(\displaystyle{ \left| a\right| \geq1}\) a nie \(\displaystyle{ \left| a\right|>1}\)? przeciez dla \(\displaystyle{ a =1}\) bedzie dzielenie przez zero po sprowadzeniu do wzorow na sume ciagu geometrycznego?
2. o ile dla \(\displaystyle{ a<-1}\) ciag jest rzeczywiscie rozbiezny, to dla \(\displaystyle{ a>1}\) ciag dazy do nieskonczonosci. Dlaczego taka odpowiedz?

[justyskaf]

Skoro dąży do nieskończoności to jest rozbieżny

wzór \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}ba^n=\frac{b}{1-a}}\) zachodzi dla \(\displaystyle{ |a|<1}\)

Dla \(\displaystyle{ a=1}\) licznik przyjmuje postać \(\displaystyle{ 1+\cdots+1=n}\) jak pójdziemy z \(\displaystyle{ n}\) do nieskończoności to granica jest \(\displaystyle{ +\infty~\Rightarrow}\) rozbieżny

[gerberotto]

1.ok czyli dazenie do nieskonczonosci mozna nazwac rozbieznoscia? a ciag \(\displaystyle{ (-1)^n}\) jak nazwac?

2. tak mnie naszlo, hipotetycznie, jesli bylby taki ciag ze w liczniku mamy liczbe, a w mianowniku cos co dazy do 0, to jaka wtedy jest granica?

[justyskaf]

1. Taki ciąg też jest rozbiezny bo nie jest zbiezny do żadnej granicy.

2. To zależy do jakiej liczby dąży licznik i z której strony mianownik dąży do 0. Wtedy w zależności od tego dąży do + lub \(\displaystyle{ -\infty}\).