odległość punktu od płaszczyzny
-
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 18:19
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
odległość punktu od płaszczyzny
Celem zdania jest znaleźć odległość punktu \(\displaystyle{ P=(0,0,4)}\) od powierzchni \(\displaystyle{ z=xy}\).
Co do funkcji wielu zmiennych to umiem takie rzeczy jak pochodne cząstkowe, ekstrema i funkcje uwikłane (to ostatnio przerabialiśmy) ale nie mogę tego połączyć z tym zadaniem, nie mam pojęcia nawet od czego zacząć. Czy ktoś mógłby mnie poprowadzić krok po kroku, co i jak?
PS. Czy jest jakiś program lub strona internetowa która narysowałaby mi tą płaszczyznę (i oczywiście inne wykresy trzech zmiennych też)? Zawsze łatwiej coś zrozumieć gdy się to ma przed oczami.
Co do funkcji wielu zmiennych to umiem takie rzeczy jak pochodne cząstkowe, ekstrema i funkcje uwikłane (to ostatnio przerabialiśmy) ale nie mogę tego połączyć z tym zadaniem, nie mam pojęcia nawet od czego zacząć. Czy ktoś mógłby mnie poprowadzić krok po kroku, co i jak?
PS. Czy jest jakiś program lub strona internetowa która narysowałaby mi tą płaszczyznę (i oczywiście inne wykresy trzech zmiennych też)? Zawsze łatwiej coś zrozumieć gdy się to ma przed oczami.
Ostatnio zmieniony 5 cze 2012, o 20:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Temat umieszczony w złym dziale.
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
odległość punktu od płaszczyzny
Pytanie raczej do działu "rachunek różniczkowy".
1. Wyznaczasz postać dowolnego punktu leżącego na tej płaszczyźnie (nazwijmy ją \(\displaystyle{ S}\)).
2. wyznaczasz odległości \(\displaystyle{ d(A,P)}\) gdzie \(\displaystyle{ A=(0,0,4),\ P}\)- punkt z 1. Wyjdzie Ci pewna funkcja.
3. Liczysz \(\displaystyle{ \inf_{P\in S}d(A,P)}\). To właśnie będzie odległość punktu od powierzchni.
1. Wyznaczasz postać dowolnego punktu leżącego na tej płaszczyźnie (nazwijmy ją \(\displaystyle{ S}\)).
2. wyznaczasz odległości \(\displaystyle{ d(A,P)}\) gdzie \(\displaystyle{ A=(0,0,4),\ P}\)- punkt z 1. Wyjdzie Ci pewna funkcja.
3. Liczysz \(\displaystyle{ \inf_{P\in S}d(A,P)}\). To właśnie będzie odległość punktu od powierzchni.
na przykład.Czy jest jakiś program lub strona internetowa która narysowałaby mi tą płaszczyznę (i oczywiście inne wykresy trzech zmiennych też)? Zawsze łatwiej coś zrozumieć gdy się to ma przed oczami.
-
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 18:19
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
odległość punktu od płaszczyzny
Aha, to ciekawe bo działań różniczkowych jeszcze nie mieliśmy. Pokombinuję z tym, ale wcześniej mam jeszcze jedno pytanie. Dlaczego A ma te same współrzędne co P?Lorek pisze:Pytanie raczej do działu "rachunek różniczkowy".
1. Wyznaczasz postać dowolnego punktu leżącego na tej płaszczyźnie (nazwijmy ją \(\displaystyle{ S}\)).
2. wyznaczasz odległości \(\displaystyle{ d(A,P)}\) gdzie \(\displaystyle{ A=(0,0,4),\ P}\)- punkt z 1. Wyjdzie Ci pewna funkcja.
3. Liczysz \(\displaystyle{ \inf_{P\in S}d(A,P)}\). To właśnie będzie odległość punktu od powierzchni.
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
odległość punktu od płaszczyzny
Działań różniczkowych?Aha, to ciekawe bo działań różniczkowych jeszcze nie mieliśmy.
To właśnie też podchodzi pod rachunek różniczkowyto umiem takie rzeczy jak pochodne cząstkowe, ekstrema i funkcje uwikłane (to ostatnio przerabialiśmy)
Moja wina, nie zauważyłem, że masz nazwany ten punkt. Zamień w tym co napisałem \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ P}\) miejscami i będzie ok.Dlaczego A ma te same współrzędne co P?
-
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 18:19
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
odległość punktu od płaszczyzny
No, przeczytałem o tym trochę w necie i widzę że to dość obszerny temat. Więc może sprecyzuję:Lorek pisze:To właśnie też podchodzi pod rachunek różniczkowyto umiem takie rzeczy jak pochodne cząstkowe, ekstrema i funkcje uwikłane (to ostatnio przerabialiśmy)Moja wina, nie zauważyłem, że masz nazwany ten punkt. Zamień w tym co napisałem \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ P}\) miejscami i będzie ok.Dlaczego A ma te same współrzędne co P?
Mieliśmy granice, pochodne (obliczanie pochodnych funkcji i badanie ich zmienności), całki(obliczanie całek nieoznaczonych i oznaczonych oraz niewłaściwych, wyliczanie z nich pola powierzchni) i funkcje wielu zmiennych(to co pisałem powyżej). O "różniczce" dowiedzieliśmy się tyle że jest na końcu materiału i najpewniej nie zdążymy jej przerobić.
Dla przykładu nie mam pojęcia co masz na myśli przez \(\displaystyle{ \inf_{P\in S}d(A,P)}\)
Znam \(\displaystyle{ \lim}\) który oznaczał granicę ale \(\displaystyle{ \inf}\) to dla mnie nowość (domyślam się że chodzi o coś z nieskończonością).
PS. Wielkie dzięki za link. Ta strona jest świetna.
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
odległość punktu od płaszczyzny
no i to są elementy rachunku różniczkowego. Rachunek różniczkowy to nie tylko różniczkiMieliśmy granice, pochodne (obliczanie pochodnych funkcji i badanie ich zmienności)
\(\displaystyle{ \inf}\) - , takie "uogólnienie" minumum. W tym zadaniu to infimum możesz zamienić na minimum, ale nie zawsze tak się da.
-
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 18:19
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
odległość punktu od płaszczyzny
No, to powoli zaczyna wyglądać na możliwe do zrobieniaLorek pisze:no i to są elementy rachunku różniczkowego. Rachunek różniczkowy to nie tylko różniczkiMieliśmy granice, pochodne (obliczanie pochodnych funkcji i badanie ich zmienności)
\(\displaystyle{ \inf}\) - , takie "uogólnienie" minumum. W tym zadaniu to infimum możesz zamienić na minimum, ale nie zawsze tak się da.
I jeszcze co rozumiesz przez wyznaczenie postaci dowolnego punktu na płaszczyźnie (mamy przecież jej równanie \(\displaystyle{ z=xy}\))? Mam wyznaczyć sobie jakiś konkretny punkt (nie rozumiem co masz na myśli przez "postać")?
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
odległość punktu od płaszczyzny
Ogólnie dowolny punkt w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ (x,y,z)}\), a my nie mamy dowolnych, tylko takie, dla których \(\displaystyle{ z=xy}\), stąd dowolny punkt, dla którego zachodzi \(\displaystyle{ z=xy}\) jest postaci...
-
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 18:19
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
odległość punktu od płaszczyzny
Więc rozumiem że przez postać masz na myśli współrzędne. W ten sposób mogę sobie wybrać dowolny punkt którego współrzędne spełniają zależność \(\displaystyle{ z=xy}\) np. B=(3,2,6). Czy tak?
-
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 18:19
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
odległość punktu od płaszczyzny
Że nie bardzo wiem do czego zmierzasz. Rozumiem że wyeliminowałeś jedną zmienną i w układzie równań to by miało sens, ale jaki to ma tutaj cel?Lorek pisze:Też, ale będziesz sprawdzał wszystkie po kolei? A co powiesz o tym: \(\displaystyle{ (x,y,xy)}\) ?
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
odległość punktu od płaszczyzny
Otóż każdy punkt na powierzchni określonej równaniem \(\displaystyle{ z=xy}\) jest postaci \(\displaystyle{ (x,y,z=xy)=(x,y,xy)}\). Teraz jak policzysz odległość tego punktu od punktu \(\displaystyle{ (0,0,4)}\) to otrzymasz funkcję, której minimum poszukujesz.
odległość punktu od płaszczyzny
Badamy minimum funkcji \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} ,f(x,y) =\sqrt{x^2 +y^2 +(4-xy)^2} .}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 18:19
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
odległość punktu od płaszczyzny
Witam po długim weekendzie
wziąłem się za badanie minimum funkcji którą wskazała brzoskwinka1. Obliczyłem pochodne i jestem na etapie nieco monstrualnego układu równań, oto on:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{2x-8y+xy^{2}}{2 \sqrt{x^{2}+y^{2}+(4-xy)^{2}} }=0 \\ \frac{2y-8x+x^{2}y}{2 \sqrt{x^{2}+y^{2}+(4-xy)^{2}}}=0 \end{cases}}\)
Moje pytanie to:
Czy mogę pomnożyć oba równania przez ich mianownik (jako że oba mają taki sam)? Znacznie upraszcza to układ ale nie wiem czy takie coś jest dozwolone.
wziąłem się za badanie minimum funkcji którą wskazała brzoskwinka1. Obliczyłem pochodne i jestem na etapie nieco monstrualnego układu równań, oto on:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{2x-8y+xy^{2}}{2 \sqrt{x^{2}+y^{2}+(4-xy)^{2}} }=0 \\ \frac{2y-8x+x^{2}y}{2 \sqrt{x^{2}+y^{2}+(4-xy)^{2}}}=0 \end{cases}}\)
Moje pytanie to:
Czy mogę pomnożyć oba równania przez ich mianownik (jako że oba mają taki sam)? Znacznie upraszcza to układ ale nie wiem czy takie coś jest dozwolone.