\(\displaystyle{ \int \frac{\sin ^{3} x}{ \sqrt[3]{\cos ^{2} x} }}\) Prosiłbym o sprawdzenie wyniku
\(\displaystyle{ -3 \sqrt[3]{\cos x} + \frac{3}{7} \left( \cos x \right) ^{ \frac{7}{3} } +c}\)
-- 11 cze 2012, o 18:44 --
Mam problem z 2 całkami trygonometrycznymi:
\(\displaystyle{ \int\sin ^{4}x \cos ^{6} x}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\sin ^{2}x }{cos ^{6} x}}\)
Prosiłbym o pomoc:)
Całki trygonometryczne
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Całki trygonometryczne
Jest ok. Najprościej zróżniczkować i zobaczyć, czy wychodzi funkcja podcałkowa.
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Całki trygonometryczne
W obu całkach podstawienie:
\(\displaystyle{ u=\tan x\\\\
x=\arctan u\\\\
dx=\frac{du}{1+u^2}\\\\
\sin^2x=\frac{\tan^2x}{1+\tan^2x}=\frac{u^2}{1+u^2}\\\\
\cos^2x=\frac{1}{1+\tan^2x}=\frac{1}{1+u^2}}\)
i dostaniemy całki funkcji wymiernych
\(\displaystyle{ u=\tan x\\\\
x=\arctan u\\\\
dx=\frac{du}{1+u^2}\\\\
\sin^2x=\frac{\tan^2x}{1+\tan^2x}=\frac{u^2}{1+u^2}\\\\
\cos^2x=\frac{1}{1+\tan^2x}=\frac{1}{1+u^2}}\)
i dostaniemy całki funkcji wymiernych
-
walistopa
- Użytkownik
- Posty: 306
- Rejestracja: 12 gru 2010, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: katowice
- Podziękował: 7 razy
Całki trygonometryczne
1 całka:
\(\displaystyle{ \frac{1}{32}}\)\(\displaystyle{ \int \sin ^{4}2x\cdot(1+\cos2x) dx}\)i teraz za bardzo nie wiem jak ruszyć tą całkę?-- 11 cze 2012, o 19:12 --a w drugiej całce doszedłem do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ 4}\)\(\displaystyle{ \int \frac{1-\cos 2x}{(1+\cos 2x}) ^{3}}\)Prosiłbym o pomoc:)
\(\displaystyle{ \frac{1}{32}}\)\(\displaystyle{ \int \sin ^{4}2x\cdot(1+\cos2x) dx}\)i teraz za bardzo nie wiem jak ruszyć tą całkę?-- 11 cze 2012, o 19:12 --a w drugiej całce doszedłem do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ 4}\)\(\displaystyle{ \int \frac{1-\cos 2x}{(1+\cos 2x}) ^{3}}\)Prosiłbym o pomoc:)
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6910
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Całki trygonometryczne
\(\displaystyle{ \int\sin ^{4}x \cos ^{6} x\mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\sin ^{2}x }{\cos ^{6} x}\mbox{d}x}\)
Ja bym te całki liczył przez części z użyciem jedynki trygonometrycznej
\(\displaystyle{ \int\sin ^{4}x \cos ^{6} x\mbox{d}x\\
=\int{\left( 1-\cos^{2}{x}\right)^{2}\cos^{6}{x} \mbox{d}x }\\
=\int{\cos^{6}{x} \mbox{d}x}-2\int{\cos^{8}{x} \mbox{d}x }+\int{\cos^{10}{x} \mbox{d}x }\\
\int{\cos^{10}{x} \mbox{d}x }=-\sin{x}\cos^{9}{x}+9\int{\cos^{8}{x}\sin^{2}{x} \mbox{d}x }\\
10\int{\cos^{10}{x} \mbox{d}x }=-\sin{x}\cos^{9}{x}+9\int{\cos^{8}{x}\left( \sin^{2}{x}+\cos^{2}{x}\right) \mbox{d}x }\\
10\int{\cos^{10}{x} \mbox{d}x }=-\sin{x}\cos^{9}{x}+9\int{\cos^{8}{x} \mbox{d}x }\\
\int{\cos^{10}{x} \mbox{d}x }=-\frac{1}{10}\sin{x}\cos^{9}{x}+\frac{9}{10}\int{\cos^{8}{x} \mbox{d}x }\\}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\sin ^{2}x }{\cos ^{6} x}\mbox{d}x\\
\int{\sin{x} \cdot \frac{\sin{x}}{\cos^{6}{x}} \mbox{d}x }\\
=\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin{x}}{\cos^{5}{x}}-\frac{1}{5}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\cos^{4}{x}} } \\
\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x }=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\cos^{2}{x}} }+\int{ \frac{\sin^{2}{x}}{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x }\\
\int{ \frac{\sin^{2}{x}}{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x }=\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin{x}}{\cos^{3}{x}}-\frac{1}{3}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\cos^{2}{x}} } \\}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\sin ^{2}x }{\cos ^{6} x}\mbox{d}x}\)
Ja bym te całki liczył przez części z użyciem jedynki trygonometrycznej
\(\displaystyle{ \int\sin ^{4}x \cos ^{6} x\mbox{d}x\\
=\int{\left( 1-\cos^{2}{x}\right)^{2}\cos^{6}{x} \mbox{d}x }\\
=\int{\cos^{6}{x} \mbox{d}x}-2\int{\cos^{8}{x} \mbox{d}x }+\int{\cos^{10}{x} \mbox{d}x }\\
\int{\cos^{10}{x} \mbox{d}x }=-\sin{x}\cos^{9}{x}+9\int{\cos^{8}{x}\sin^{2}{x} \mbox{d}x }\\
10\int{\cos^{10}{x} \mbox{d}x }=-\sin{x}\cos^{9}{x}+9\int{\cos^{8}{x}\left( \sin^{2}{x}+\cos^{2}{x}\right) \mbox{d}x }\\
10\int{\cos^{10}{x} \mbox{d}x }=-\sin{x}\cos^{9}{x}+9\int{\cos^{8}{x} \mbox{d}x }\\
\int{\cos^{10}{x} \mbox{d}x }=-\frac{1}{10}\sin{x}\cos^{9}{x}+\frac{9}{10}\int{\cos^{8}{x} \mbox{d}x }\\}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\sin ^{2}x }{\cos ^{6} x}\mbox{d}x\\
\int{\sin{x} \cdot \frac{\sin{x}}{\cos^{6}{x}} \mbox{d}x }\\
=\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin{x}}{\cos^{5}{x}}-\frac{1}{5}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\cos^{4}{x}} } \\
\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x }=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\cos^{2}{x}} }+\int{ \frac{\sin^{2}{x}}{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x }\\
\int{ \frac{\sin^{2}{x}}{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x }=\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin{x}}{\cos^{3}{x}}-\frac{1}{3}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\cos^{2}{x}} } \\}\)