Całka wymierna - rozkład na ułamki proste

[jeal]

Dzień Dobry Czy mogę prosić o wytłumaczenie jak rozłożyć tą całkę poprzez ułamki proste? Tu chyba powinny być trzy ułamki, ale jak wyjmuję \(\displaystyle{ t}\) przed nawias, to równania kwadratowego nie mogę rozłożyć z delty...
\(\displaystyle{ \int \frac{1-t+ t^{2} }{- t^{3}+2t^{2}-2t } dt}\)
Będę wdzięczna za podpowiedzi

[luka52]

Tu masz przykłady - 298450.htm
W Twoim przypadku zacznij od znalezienia pierwiastków mianiownika by można go było przedstawić jako iloczyn wielomianów niższego stopnia.

[jeal]

Wiem co mam zrobić w teorii, ale tak jak napisałam wyżej w praktyce nie mogę rozłożyć mianownika \(\displaystyle{ t ( - t^{2} - 2t -2)}\) na więcej czynników, bo delta jest ujemna.
chyba, żeby podzielić licznik przez mianownik, tylko nie pamiętam jak to się robiło... ?
Przejrzałam to kompendium, jednak dalej mam pustkę...

[dawid.barracuda]

Licznik dzielisz przez mianownik kiedy stopień licznika jest większy bądź równy stopniowi mianownika. Jeżeli masz taki przypadek, że masz nierozkładalny wielomian drugiego stopnia (nazwijmy go \(\displaystyle{ W(x)}\)) to postać ułamka będzie taka:
\(\displaystyle{ \frac{Ax+B}{W(x)}}\)

[luka52]

na więcej czynników, bo delta jest ujemna.

O rany, no to już masz mianownik w postaci iloczynowej, wygodnej do rozkładu na ułamki proste. To wynika wprost z teorii trzeba wiedzieć czym jest ułamek prosty - to jest podstawa!!

Kolejną podstawową umiejętnością jest poprawne przekształcanie wzorów na poziomie podstawowym!
Przecież \(\displaystyle{ t ( - t^{2} - 2t -2) \neq - t^{3}+2t^{2}-2t}\).

[jeal]

Czyli wynikałoby, że
\(\displaystyle{ \frac{1-t+ t^{2} }{t ( - t^{2} + 2t -2) }}\) = \(\displaystyle{ \frac{A}{t }}\) + \(\displaystyle{ \frac{At+B}{ - t^{2} + 2t -2}}\) ?

[dawid.barracuda]

\(\displaystyle{ \frac{A}{t} + \frac{Bt+C}{ - t^{2} + 2t -2}}\) gwoli ścisłości

[jeal]

Powinno wyjść \(\displaystyle{ A= - \frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ B = \frac{1}{2}}\) i C=0?

[dawid.barracuda]

Szczerze mówiąc, to tego nie liczyłem. Podstaw sobie to co Ci wyszło do ułamków, sprowadź do wspólnego mianownika i sprawdź czy wróciło do tego samego