zbieznosc szeregu

[cfk]

zbadac zbieżność szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{ n^{2}+n+2 }}\)

[meninio]

No najpierw trzeba sprawdzić warunek konieczny - czyli czy wyraz ogółny szeregu zbiega do 0 - w tym przypadku tak.
Następnie z kryterium porównawczego można oszacować szereg i wysnuć odpowiedni wniosek:

\(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+n+2} \ge \frac{1}{4}+ \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^2+n^2+n^2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}n}}\)

[cfk]

a mam takie pytanie, czy umiecie może przy użyciu innego kryterium udowodnić zbieżność?

[meninio]

W zależności od przykładu stosuje się takie kryterium, aby obliczenia były jak najprostsze - a tu tak jest najprościej.
Z jakiego kryterium chciałbyś to jeszcze stwierdzić? Co ci w tym nie pasuje?
No i ten szereg jest rozbieżny.

[miki999]

Powyższy sposób jest najkrótszy. Pewnie by coś wyszło z kryterium Raabego, albo z całkowego, tyle że nie warto się w to bawić.


Pozdrawiam.

[Zordon]

a mam takie pytanie, czy umiecie może przy użyciu innego kryterium udowodnić zbieżność?

nie da się udowodnić zbieżności tego szeregu, skoro jest rozbieżny

[cfk]

zeby nie zakladac nowego tematu napisze tutaj

jakbyscie pomogli mi jeszcze w takim zadaniu

wyznacz przedział zbieżności szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n*n^2} * (x-1)^n}\)

[miodzio1988]

zeby nie zakladac nowego tematu napisze tutaj

jakbyscie pomogli mi jeszcze w takim zadaniu

wyznacz przedział zbieżności szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n*n^2} * (x-1)^n}\)

Wzór znasz? Bo jest wzor na obliczanie promienia zbiezności

[Lukasz_C747]

\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{2^{n+1}(n+1)^{2}}}{\frac{1}{2^{n}n^{2}}} = \frac{1}{2^{n+1}(n+1)^{2}}\cdot 2^{n}n^{2} = \frac{1}{2}\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} \rightarrow \frac{1}{2}\\
R = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2}\)
Zbieżny dla x odległych od 1 o mniej niż R.

[cfk]

Zbieżny dla x odległych od 1 o mniej niż R.

tego nie rozumiem. Mi tez wyszdl promien 2, ale przedzial zbieznosc wyszedl mi\(\displaystyle{ x \in <-1;3>}\)
a Ty napisales o mniej niz R czyli wnioskuje ze twoj przedzial wygladalby tak:
\(\displaystyle{ x \in (-1;3)}\)

Ja to robie tak. na poczatku wyznaczam srodek (to widac z szeregu). Pozniej licze promien. A pozniej patrze czy szereg jest zbiezny na krańcach. W tym przypadku w -1 i 3 czyli wiem czy to bedzie przedzial lagodny i ostry.

prosze o zwerfikowanie mojej wiedzy, bo wydaje mi sie ze ona jest nienajlepsza

[miodzio1988]

jest zbieżny na krancach. najlepiej od razu jest zrobic podstawienie:
\(\displaystyle{ y=x-1}\) i wtedy nie ma problemu

[Lukasz_C747]

Mój błąd, zapomniałem sprawdzić zbieżność na krańcach przedziału.