Całki z funkcji niewymiernych

[walistopa]

\(\displaystyle{ \int \frac{ \sqrt{2x-3} }{ \sqrt[3]{2x-3}+1 } dx}\)

\(\displaystyle{ |t= \sqrt{2x-3} |}\)

\(\displaystyle{ |dx= \frac{2tdt}{2} |}\)
po skróceniu wyszła mi taka całka
\(\displaystyle{ \int \frac{t ^{ \frac{3}{2} } }{t ^{ \frac{1}{3} } +1}dt}\)
Proszę o pomoć, czy wg mam dobrze zrobiona ta całke bo nie wiem co teraz zrobić z nia.

[smigol]

\(\displaystyle{ |t= \sqrt{2x-3}+1 |}\)

[walistopa]

Tam miałem błąd w całce bo ona powinna wyglądac tak:
\(\displaystyle{ \int \frac{ \sqrt{2x-3} }{ \sqrt[3]{2x-3}+1 }}\)
Więc podstawienie zrobiłem dobrze?

[smigol]

Podstawienie jak podstawienie, kwestia tego czy to podstawienie nam coś ułatwia.

Po podstawieniu i uproszczeniu licznik jest ok, mianownik jest źle.

[walistopa]

Czyli muszę zmienić podstawienie bo mianownik jest dobrze obliczony
Jakie podstawienie byś zugerował?

[smigol]

Mianownik nie jest dobrze obliczony. Powinno być \(\displaystyle{ t^{2/3}+1}\) w mianowniku.

To chyba dałoby się dokończyć, ale żeby nie mieć wykładników ułamkowych to bym radził podstawić, to co zawsze podstawia się w takich sytuacjach. To znaczy mamy kilka pierwiastków różnych stopni z tego samego wyrażenia - nazwijmy go \(\displaystyle{ X}\). Podstawmy \(\displaystyle{ t}\) do potęgi będącej najmniejszą wspólną wielokrotnością stopni pierwiastków zamiast \(\displaystyle{ X}\).

[walistopa]

wiec:
\(\displaystyle{ \sqrt[6]{t}=u}\)
\(\displaystyle{ dt=6u ^{5}du}\)
6\(\displaystyle{ \int \frac{u ^{8} }{u ^{4}+1 } du}\) dalej coś nie wychodzi;/-- 10 cze 2012, o 13:28 --dobra wiem jak to zrobić zaraz napisze wynik:)

[smigol]

\(\displaystyle{ t^6 = 2x-3}\)
\(\displaystyle{ 3t^5dt=dx}\)

[walistopa]

Wyszedł mi taki wynik:
\(\displaystyle{ \frac{6}{5} \left( u ^{5} \right) -6u+\arctan u ^{2}+c}\) Zostaje podstawienie za u a potem t ale mam nadzieje ze to juz jest dobrze.

[smigol]

Po co w ogóle Ci jakieś nowe \(\displaystyle{ u}\)? I czym ona jest?
Policz pochodną i sprawdź czy jest dobrze. Na moje oko coś jest nie tak. (a na pewno nie jest to wynik całki \(\displaystyle{ \int \frac{u ^{8} }{u ^{4}+1 } \mbox{d} u}\)
Nie możesz zrobić podstawienia, o którym pisałem? Nawet napisałem Ci co podstawić.

[walistopa]

Ale ja w tym podstawieniu wg nie wiem o co chodzi i czemu zas wsadzam x jak wczesniej go zastępowałem zmienna t.
a z tą całką licznik podzieliłem przez mianownik to jak robi sie to z całkami wymiernymi.

[smigol]

Dobra, ale przede wszystkim \(\displaystyle{ \int \frac{\mbox{d}u}{u^4+1} \neq \arctg u^2}\)!!!

Zacznijmy od samego początku. Mamy do policzenia:
\(\displaystyle{ \int \frac{ \sqrt{2x-3} }{ \sqrt[3]{2x-3}+1 } \mbox{d}x}\).

Teraz:
\(\displaystyle{ t^6 = 2x-3}\) (\(\displaystyle{ t}\) do szóstej, bo chcemy się pozbyć pierwiastków)

[walistopa]

\(\displaystyle{ \int \frac{\mbox{d}u}{u^4+1}= \frac{6}{5} \left( u ^{5} \right) -6u+\arctan u ^{2}+c}\)
Taki mi wyszedł wynik.
a wracając to w całce potem wychodzi:
\(\displaystyle{ \int \frac{t ^{ \frac{3}{2} } }{t ^{ \frac{2}{3} } +1}dt}\)

[smigol]

Policz pochodną \(\displaystyle{ \frac{6}{5} \left( u ^{5} \right) -6u+\arctan u ^{2}+c}\) i sprawdź, że raczej nie wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{u^4+1}}\), an i \(\displaystyle{ \frac{u^8}{u^4+1}}\).
Czemu bronisz się rękami i nogami przed podstawieniem, które zaproponowałem? Nie mówię, że jest ono jedynym słusznym. Można to pewnie zrobić na inne sposobu, ale ten wg mnie jest najprostszy, a Ty żadnego innego prowadzącego do poprawnego rozwiązania nie podajesz.

[walistopa]

Ok czyli jesteśmy tutaj:
\(\displaystyle{ \int \frac{t ^{ \frac{3}{2} } }{t ^{ \frac{2}{3} } +1}dt}\)
i najnizsza wielokrotność pierwiastkow wynosi 6.