Całkowanie przez części na przykładzie

[aaa37]

Witam,
Liczenie całek przez części nie należy podobno do najtrudniejszych rzeczy, gdyż wszystko opiera się w zasadzie na jednym wzorze:

\(\displaystyle{ \int_{}^{}u\frac{\text{d}v}{\text{d}x}\text{d}x=uv-\int_{}^{}v\frac{\text{d}u}{\text{d}x}\text{d}x\text{, gdzie }u\text{ i }v\text{ to funkcje od }x\text{.}}\)

Jednak, aby szybko radzić sobie nawet z prostszymi przykładami potrzeba trochę doświadczenia, a wzór ten trzeba stosować wielokrotnie. Dlatego chciałem prosić Was o pomoc w rozwiązaniu takich przykładów:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}x\sin{x}\text{d}x=?}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}x\cos{x}\text{d}x=?}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{}e^{3x}\cos{4x}\text{d}x=?}\)

Poznać/odgadnąć odpowiedzi nie jest pewnie zbyt trudno, chodzi mi jednak o przedstawienie całości rozumowania pozwalającego na uzyskanie poprawnego wyniku w sposób zrozumiały dla początkującego.
Z góry dziękuję za odpowiedź.

[MichalPWr]

\(\displaystyle{ \int x \cos xdx=\begin{vmatrix} u=x&dv=\cos xdx\\du=1&v=\sin x\end{vmatrix}=x\sin x-\int \sin x dx=x\sin x+\cos x+C}\)

Reszta analogicznie.