Układ równań, wybór ustawień optymalnych

[mimol]

Witam
Na pewnej wyspie jest 35 mieszkańców
Co godzinę do wyspy przyjeżdża 3.36 mieszkańca(którzy odpoczywają)
Każdy mieszkaniec może pracować lub odpoczywać.
Za każdego mieszkańca pracującego tracisz 6 zł w ciągu godziny
Za każdego mieszkańca który odpoczywa dostajesz 3zł /h
W obecnej chwili masz 960zł

Ilu mieszkańców maksymalnie można wysłać do pracy tak aby nie zbankrutować (twoja kwota musi być dodatnia)

\(\displaystyle{ y}\)=liczba pracujących
\(\displaystyle{ z}\)= liczba odpoczywających
\(\displaystyle{ h}\)=czas \(\displaystyle{ >0}\)

\(\displaystyle{ -6 \cdot y \cdot h+3 \cdot h \cdot (35-y)+3.36 \cdot 3 \cdot h<960}\)
Ułożyłem takie różanie ale jest ta niewiadoma z czasem...
. Chyba czas dąży do nieskończoności

[octahedron]

Jeśli jeden pracuje, a dwóch odpoczywa, to wychodzimy na zero. Tak więc co godzinę można dodawać jednego pracującego, czyli ich liczba przy nieograniczonym czasie dąży do nieskończoności. Albo ja źle coś zrozumiałem, albo w zadaniu czegoś brakuje.

[mimol]

Chciałbym się dowiedzieć jaką maksymalną liczbę pracujących ustawić (co godzinę dodawani są tylko odpoczywający) tak by nie zbankrutować

Czyli jeśli sobie ustawie liczbę pracujących na 5
to
-6*5*g+3*h*30+3.36*3*h+960
dla każdego h wartość będzie większa od 0, tylko szukam teraz takiej wartości pracujących, żeby wartość równania była jak najbliżej 0

[octahedron]

Teraz rozumiem. Co godzinę przybywa \(\displaystyle{ 3.36}\) odpoczywających, czyli po \(\displaystyle{ n}\) godzinach w sumie będziemy mieli:

\(\displaystyle{ S(n)=960+3\cdot \bigg( n\cdot (35-x)+3.36+2\cdot 3.36+3\cdot 3.36+...+(n-1)\cdot 3.36\bigg)-6nx=\\\\=960+3\cdot \bigg( n\cdot (35-x)+3.36\cdot \frac{n(n-1)}{2}\bigg)-6nx=5,04n^2+(99,96-9x)n+960}\)

no i to musi być dodatnie dla każdego \(\displaystyle{ n\in N}\)

[mimol]

dzięki
Tylko teraz pozostaje sprawa czasu (n)
Chciałbym tak żeby cały czas(obojętnie dla jakiego n > 0) Wartość była dodatnia.
A jeśli zamiast n dam n-> nieskończoność to rozwiązanie (ze względu na x) nie będzie miało sensu

[octahedron]

Dla \(\displaystyle{ n\to\infty}\) mamy \(\displaystyle{ S(n)\to\infty}\), ale tu chyba chodzi o to, żeby w żadnej chwili po drodze nie zejść poniżej zera.

[mimol]

Tak, więc jak wyliczyć dla jakiego x, wartość zawszę będzie dodatnia, gdzie n dąży do nieskończoności?

[Majeskas]

\(\displaystyle{ S}\) jest trójmianem kwadratowym zmiennej \(\displaystyle{ n}\) z parametrem \(\displaystyle{ x}\), więc funkcja \(\displaystyle{ S}\) będzie dodatnia dla każdego \(\displaystyle{ n>0}\), jeśli

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta\ge0 \\ p\le0\\S(0)\ge0 \end{cases}\quad\vee\quad\Delta<0}\)
gdzie \(\displaystyle{ p}\) oznacza odciętą wierzchołka paraboli.

Powyższe wnioski biorą się z obserwacji paraboli będącej wykresem \(\displaystyle{ S}\).

[mimol]

\(\displaystyle{ (99.96-9x)^2-4 \cdot 5.04 \cdot 960}\)
Wartość jest większa dla \(\displaystyle{ x>26}\)
Jeśli delta jest większa \(\displaystyle{ >0}\), z tego co napisałeś ,wynika z tego że \(\displaystyle{ S}\) też jest większa od \(\displaystyle{ 0}\)

Podstawiając za \(\displaystyle{ n =12}\) godzin
za liczbę pracujących \(\displaystyle{ 26}\)
Otrzymuje równanie
\(\displaystyle{ -6 \cdot 26 \cdot 12+3 \cdot 12 \cdot (35-26)+3.36 \cdot 3 \cdot 14+960 < 0}\)
Po prostu chciałbym znaleźć \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ -6 \cdot x \cdot n+3 \cdot n \cdot (35-x)+3,36 \cdot 3 \cdot n+960}\)
Tak aby dla każdego \(\displaystyle{ n >0}\) wartość była dodatnia

[Majeskas]

\(\displaystyle{ (99.96-9x)^2-4 \cdot 5.04 \cdot 960}\)
Wartość jest większa dla \(\displaystyle{ x>26}\)

Dokładnie rzecz biorąc:

\(\displaystyle{ \Delta=(9{,}96-9x)^2-4 \cdot 5{,}04 \cdot 960>0}\)

\(\displaystyle{ 81x^2-1799{,}28x-9361{,}6>0\quad\Leftrightarrow\quad x\in\left(-\infty,\frac{833-80\sqrt{10}}{75}\right)\cup\left(\frac{833+80\sqrt{10}}{75},+\infty\right)}\)

a więc dla \(\displaystyle{ x>26{,}56}\)

Jeśli delta jest większa \(\displaystyle{ >0}\), z tego co napisałeś ,wynika z tego że \(\displaystyle{ S}\) też jest większa od \(\displaystyle{ 0}\)

Nie do końca rozumiem, co chciałeś powiedzieć. Z pewnością prawdą jest, że dla każdej wartości \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ S(0)=960}\), więc warunek ten można pominąć, na co nie zwróciłem uwagi.

Podstawiając za \(\displaystyle{ n =12}\) godzin
za liczbę pracujących \(\displaystyle{ 26}\)
Otrzymuje równanie
\(\displaystyle{ -6 \cdot 26 \cdot 12+3 \cdot 12 \cdot (35-26)+3.36 \cdot 3 \cdot 14+960 < 0}\)

Nie musi wychodzić, bo nie podstawiasz tego do równania, do którego sformułowałem warunki. Podstawiając \(\displaystyle{ x=26}\) do równania \(\displaystyle{ 5{,}04n^2+(99,96-9x)n+960}\) mamy

\(\displaystyle{ 5{,}04n^2-134{,}04n+960}\)
co dla \(\displaystyle{ n=12}\) wynosi \(\displaystyle{ 77{,}28>0}\)
(co jest zgodne z drugim podanym przeze mnie warunkiem)

Po prostu chciałbym znaleźć \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ -6 \cdot x \cdot n+3 \cdot n \cdot (35-x)+3,36 \cdot 3 \cdot n+960}\)
Tak aby dla każdego \(\displaystyle{ n >0}\) wartość była dodatnia

W takim razie zdecyduj się. To nie jest ta funkcja, którą podał octahedron. Dla Twojej funkcji mamy

\(\displaystyle{ f(n)=(115{,}08-9x)n+960}\)

To jest funkcja liniowa, która będzie dodatnia dla każdego \(\displaystyle{ n>0}\), gdy

\(\displaystyle{ \begin{cases} a>0 \\ n_0\le0 \end{cases}\quad\vee\quad a=0}\)

gdzie \(\displaystyle{ a}\) oznacza współczynnik kierunkowy, a \(\displaystyle{ n_0}\) miejsce zerowe.