odległość punktu od płaszczyzny

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Kosynier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 17 maja 2009, o 18:19
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

odległość punktu od płaszczyzny

Post autor: Kosynier » 5 cze 2012, o 19:43

Celem zdania jest znaleźć odległość punktu \(\displaystyle{ P=(0,0,4)}\) od powierzchni \(\displaystyle{ z=xy}\).

Co do funkcji wielu zmiennych to umiem takie rzeczy jak pochodne cząstkowe, ekstrema i funkcje uwikłane (to ostatnio przerabialiśmy) ale nie mogę tego połączyć z tym zadaniem, nie mam pojęcia nawet od czego zacząć. Czy ktoś mógłby mnie poprowadzić krok po kroku, co i jak?

PS. Czy jest jakiś program lub strona internetowa która narysowałaby mi tą płaszczyznę (i oczywiście inne wykresy trzech zmiennych też)? Zawsze łatwiej coś zrozumieć gdy się to ma przed oczami.
Ostatnio zmieniony 5 cze 2012, o 20:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Temat umieszczony w złym dziale.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

odległość punktu od płaszczyzny

Post autor: Lorek » 5 cze 2012, o 20:20

Pytanie raczej do działu "rachunek różniczkowy".
1. Wyznaczasz postać dowolnego punktu leżącego na tej płaszczyźnie (nazwijmy ją \(\displaystyle{ S}\)).
2. wyznaczasz odległości \(\displaystyle{ d(A,P)}\) gdzie \(\displaystyle{ A=(0,0,4),\ P}\)- punkt z 1. Wyjdzie Ci pewna funkcja.
3. Liczysz \(\displaystyle{ \inf_{P\in S}d(A,P)}\). To właśnie będzie odległość punktu od powierzchni.
Czy jest jakiś program lub strona internetowa która narysowałaby mi tą płaszczyznę (i oczywiście inne wykresy trzech zmiennych też)? Zawsze łatwiej coś zrozumieć gdy się to ma przed oczami.
http://www.wolframalpha.com na przykład.

Kosynier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 17 maja 2009, o 18:19
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

odległość punktu od płaszczyzny

Post autor: Kosynier » 5 cze 2012, o 22:06

Lorek pisze:Pytanie raczej do działu "rachunek różniczkowy".
1. Wyznaczasz postać dowolnego punktu leżącego na tej płaszczyźnie (nazwijmy ją \(\displaystyle{ S}\)).
2. wyznaczasz odległości \(\displaystyle{ d(A,P)}\) gdzie \(\displaystyle{ A=(0,0,4),\ P}\)- punkt z 1. Wyjdzie Ci pewna funkcja.
3. Liczysz \(\displaystyle{ \inf_{P\in S}d(A,P)}\). To właśnie będzie odległość punktu od powierzchni.
Aha, to ciekawe bo działań różniczkowych jeszcze nie mieliśmy. Pokombinuję z tym, ale wcześniej mam jeszcze jedno pytanie. Dlaczego A ma te same współrzędne co P?

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

odległość punktu od płaszczyzny

Post autor: Lorek » 5 cze 2012, o 22:13

Aha, to ciekawe bo działań różniczkowych jeszcze nie mieliśmy.
Działań różniczkowych?
to umiem takie rzeczy jak pochodne cząstkowe, ekstrema i funkcje uwikłane (to ostatnio przerabialiśmy)
To właśnie też podchodzi pod rachunek różniczkowy
Dlaczego A ma te same współrzędne co P?
Moja wina, nie zauważyłem, że masz nazwany ten punkt. Zamień w tym co napisałem \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ P}\) miejscami i będzie ok.

Kosynier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 17 maja 2009, o 18:19
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

odległość punktu od płaszczyzny

Post autor: Kosynier » 5 cze 2012, o 22:41

Lorek pisze:
to umiem takie rzeczy jak pochodne cząstkowe, ekstrema i funkcje uwikłane (to ostatnio przerabialiśmy)
To właśnie też podchodzi pod rachunek różniczkowy
Dlaczego A ma te same współrzędne co P?
Moja wina, nie zauważyłem, że masz nazwany ten punkt. Zamień w tym co napisałem \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ P}\) miejscami i będzie ok.
No, przeczytałem o tym trochę w necie i widzę że to dość obszerny temat. Więc może sprecyzuję:
Mieliśmy granice, pochodne (obliczanie pochodnych funkcji i badanie ich zmienności), całki(obliczanie całek nieoznaczonych i oznaczonych oraz niewłaściwych, wyliczanie z nich pola powierzchni) i funkcje wielu zmiennych(to co pisałem powyżej). O "różniczce" dowiedzieliśmy się tyle że jest na końcu materiału i najpewniej nie zdążymy jej przerobić.

Dla przykładu nie mam pojęcia co masz na myśli przez \(\displaystyle{ \inf_{P\in S}d(A,P)}\)
Znam \(\displaystyle{ \lim}\) który oznaczał granicę ale \(\displaystyle{ \inf}\) to dla mnie nowość (domyślam się że chodzi o coś z nieskończonością).

PS. Wielkie dzięki za link. Ta strona jest świetna.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

odległość punktu od płaszczyzny

Post autor: Lorek » 5 cze 2012, o 22:51

Mieliśmy granice, pochodne (obliczanie pochodnych funkcji i badanie ich zmienności)
no i to są elementy rachunku różniczkowego. Rachunek różniczkowy to nie tylko różniczki
\(\displaystyle{ \inf}\) - http://pl.wikipedia.org/wiki/Infimum, takie "uogólnienie" minumum. W tym zadaniu to infimum możesz zamienić na minimum, ale nie zawsze tak się da.

Kosynier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 17 maja 2009, o 18:19
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

odległość punktu od płaszczyzny

Post autor: Kosynier » 5 cze 2012, o 23:15

Lorek pisze:
Mieliśmy granice, pochodne (obliczanie pochodnych funkcji i badanie ich zmienności)
no i to są elementy rachunku różniczkowego. Rachunek różniczkowy to nie tylko różniczki
\(\displaystyle{ \inf}\) - http://pl.wikipedia.org/wiki/Infimum, takie "uogólnienie" minumum. W tym zadaniu to infimum możesz zamienić na minimum, ale nie zawsze tak się da.
No, to powoli zaczyna wyglądać na możliwe do zrobienia

I jeszcze co rozumiesz przez wyznaczenie postaci dowolnego punktu na płaszczyźnie (mamy przecież jej równanie \(\displaystyle{ z=xy}\))? Mam wyznaczyć sobie jakiś konkretny punkt (nie rozumiem co masz na myśli przez "postać")?

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

odległość punktu od płaszczyzny

Post autor: Lorek » 5 cze 2012, o 23:21

Ogólnie dowolny punkt w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ (x,y,z)}\), a my nie mamy dowolnych, tylko takie, dla których \(\displaystyle{ z=xy}\), stąd dowolny punkt, dla którego zachodzi \(\displaystyle{ z=xy}\) jest postaci...

Kosynier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 17 maja 2009, o 18:19
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

odległość punktu od płaszczyzny

Post autor: Kosynier » 6 cze 2012, o 00:03

Więc rozumiem że przez postać masz na myśli współrzędne. W ten sposób mogę sobie wybrać dowolny punkt którego współrzędne spełniają zależność \(\displaystyle{ z=xy}\) np. B=(3,2,6). Czy tak?

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

odległość punktu od płaszczyzny

Post autor: Lorek » 6 cze 2012, o 00:07

Też, ale będziesz sprawdzał wszystkie po kolei? A co powiesz o tym: \(\displaystyle{ (x,y,xy)}\) ?

Kosynier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 17 maja 2009, o 18:19
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

odległość punktu od płaszczyzny

Post autor: Kosynier » 6 cze 2012, o 00:25

Lorek pisze:Też, ale będziesz sprawdzał wszystkie po kolei? A co powiesz o tym: \(\displaystyle{ (x,y,xy)}\) ?
Że nie bardzo wiem do czego zmierzasz. Rozumiem że wyeliminowałeś jedną zmienną i w układzie równań to by miało sens, ale jaki to ma tutaj cel?

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

odległość punktu od płaszczyzny

Post autor: Lorek » 6 cze 2012, o 12:23

Otóż każdy punkt na powierzchni określonej równaniem \(\displaystyle{ z=xy}\) jest postaci \(\displaystyle{ (x,y,z=xy)=(x,y,xy)}\). Teraz jak policzysz odległość tego punktu od punktu \(\displaystyle{ (0,0,4)}\) to otrzymasz funkcję, której minimum poszukujesz.

brzoskwinka1

odległość punktu od płaszczyzny

Post autor: brzoskwinka1 » 6 cze 2012, o 13:07

Badamy minimum funkcji \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} ,f(x,y) =\sqrt{x^2 +y^2 +(4-xy)^2} .}\)

Kosynier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 17 maja 2009, o 18:19
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

odległość punktu od płaszczyzny

Post autor: Kosynier » 11 cze 2012, o 23:29

Witam po długim weekendzie
wziąłem się za badanie minimum funkcji którą wskazała brzoskwinka1. Obliczyłem pochodne i jestem na etapie nieco monstrualnego układu równań, oto on:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{2x-8y+xy^{2}}{2 \sqrt{x^{2}+y^{2}+(4-xy)^{2}} }=0 \\ \frac{2y-8x+x^{2}y}{2 \sqrt{x^{2}+y^{2}+(4-xy)^{2}}}=0 \end{cases}}\)

Moje pytanie to:
Czy mogę pomnożyć oba równania przez ich mianownik (jako że oba mają taki sam)? Znacznie upraszcza to układ ale nie wiem czy takie coś jest dozwolone.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

odległość punktu od płaszczyzny

Post autor: Lorek » 11 cze 2012, o 23:43

Możesz. Nawet jakby miały różne to byś mógł.

ODPOWIEDZ