Kwalifikowanie osób jako chorych na podstawie testu diagnst.

[kadykianus]

Witam,

Załóżmy, że częstość pewnej mutacji w społeczeństwie wynosi \(\displaystyle{ p}\)

Test diagnostyczny wykrywa tę mutację u osób, które rzeczywiście ją mają z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p_{c}}\) (to tak zwana czułość testu).

Test nie wykrywa jej u osób które jej w rzeczywistości nie mają z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p_{s}}\) (to tzw. specyficzność testu).

Mamy \(\displaystyle{ N}\) sztuk takich testów i chcemy za ich pomocą zebrać jak największą liczbę osób z mutacją, bo są nam potrzebne do jakichś badań.
Procedura testowania polega na tym, że jeśli test da wynik ujemny to odrzucamy taką osobę. Jeśli jednak da wynik dodatni, to powtarzamy test na tej osobie (zużywając kolejny). Postępujemy tak aż nie skończą nam się testy.

Pytanie: Ile wynosi oczekiwana liczba osób jaką uda nam się uzbierać?

Chodzi po prostu o liczbę osób jaką uzbieraliśmy. Wiadomo, że będą w tej grupie osoby "fałszywie dodatnie", które w rzeczywistości mutacji nie posiadają. Ze wzoru Bayesa można policzyć, jakie będzie prawdopodobieństwo tego, ze osoba z grupy uzbieranych będzie posiadała mutację.
Problem jednak, jaka będzie oczekiwana liczba wszystkich uzbieranych osób.

[norwimaj]

Procedura testowania polega na tym, że jeśli test da wynik ujemny to odrzucamy taką osobę. Jeśli jednak da wynik dodatni, to powtarzamy test na tej osobie (zużywając kolejny).

No to wiem, kiedy odrzucamy taką osobę, ale jeszcze nie wiem, kiedy taką osobę przyjmujemy.

[kadykianus]

No to wiem, kiedy odrzucamy taką osobę, ale jeszcze nie wiem, kiedy taką osobę przyjmujemy.

Przyjmujemy wtedy i tylko wtedy, kiedy pierwszy i drugi test dał wynik dodatni. Jesli za drugim razem test dał wynik ujemny to odrzucamy.

[norwimaj]

Jeśli \(\displaystyle{ X_N}\) oznacza liczbę uzbieranych osób, to policzenie \(\displaystyle{ \mathbb{E}X_N}\) dla danego \(\displaystyle{ N}\) może być trudne. Jeśli \(\displaystyle{ N}\) jest duże, to w praktyce można policzyć \(\displaystyle{ \lim_{N\to\infty}\frac{\mathbb{E}X_N}N}\), i uznać, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}X_N\approx N\cdot\lim_{N\to\infty}\frac{\mathbb{E}X_N}N}\).