Równania różniczkowe - zagadnienie Cauchy'go

[patrycjaaa92]

Witam, baaardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania. Niestety ominął mnie ten temat i zupełnie nie mam pojęcia jak je rozwiązac, dlatego proszę o w miarę szczegółowe rozwiązanie/podpowiedź.

Znaleźc rozwiązanie zagadnienia Cauchy'ego dla równania:
\(\displaystyle{ y'=-3y+t+e^{-2t}}\)
Wskazówka: Pomnożyc równanie stronami przez niezerujący się czynnik \(\displaystyle{ e^{3t}}\)

Nie wiem, czy dobrze to zapisałam, ale \(\displaystyle{ e}\) w moim zapisie oznacza liczbę Eulera oczywiście.
Z góry dziękuję za pomoc!

[Qń]

W ogólności takie równanie można rozwiązać uzmienniając stałą lub metodą przewidywań. Ale skoro jest wskazówka, to można jej użyć do jeszcze innego rozwiązania:
\(\displaystyle{ y'e^{3t}+3ye^{3t}=te^{3t}+e^t\\
(ye^{3t})'= te^{3t}+e^t\\
ye^{3t}= \int (te^{3t}+e^t)}\)
i dalej łatwo.

Q.

[patrycjaaa92]

dziękuję za to, ale czy dalej mam już po prostu to tylko scałkować? co jest tym "rozwiązaniem zagadnienie Cauchy'ego"? proszę jeszcze o pomoc

[miodzio1988]

Tak. Policz całkę

[patrycjaaa92]

rozwiązując całkę dochodzę do momentu:
\(\displaystyle{ ye^{3t} = \frac{te^{3t}}{3}- \frac{e^{3t}}{9} +e^{3t}}\)
teraz wystarczy podzielić stronami przez \(\displaystyle{ e^{3t}}\) i wszystko?