Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
\(\displaystyle{ 1)}\) Dany jest kwadrat \(\displaystyle{ K}\). Dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ f(n)}\) oznacza największą możliwą liczbę prostokątów na jakie można podzielić \(\displaystyle{ K}\) w taki sposób aby dowolna linia równoległa do jakiegoś boku \(\displaystyle{ K}\) przecinała co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) wnętrz tych prostokątów. Wykazać, że \(\displaystyle{ 3 \cdot 2^{n-1} \le f(n) \le 3^n - 2}\).
\(\displaystyle{ 2)}\) Niech \(\displaystyle{ P}\) oznacza zbiór liczb pierwszych. Zbiór \(\displaystyle{ M}\) mający co najmniej \(\displaystyle{ 3}\) elementy jest podzbiorem \(\displaystyle{ P}\) takim, że dla każdego podzbioru \(\displaystyle{ A}\) zbioru \(\displaystyle{ M}\) wszystkie dzielniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ \prod_{p \in A}^{}p - 1}\) znajdują się w \(\displaystyle{ M}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ M=P}\).
\(\displaystyle{ 3)}\) Punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Punkty \(\displaystyle{ H_a}\), \(\displaystyle{ H_b}\) i \(\displaystyle{ H_c}\) to ortocentra odpowiednio trójkątów \(\displaystyle{ BIC}\), \(\displaystyle{ CIA}\) i \(\displaystyle{ AIB}\). Pokazać, że trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ H_aH_bH_c}\) mają równe pola.
\(\displaystyle{ 4)}\) Niech \(\displaystyle{ P(x)}\) i \(\displaystyle{ Q(x)}\) oznaczają wielomiany o współczynnikach całkowitych należących do zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2012\right\}}\) i stopniach odpowiednio \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\). Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ P(x)|Q(x)}\) to \(\displaystyle{ p+1|q+1}\).
Ostatnio zmieniony 2 cze 2012, o 22:16 przez Coach, łącznie zmieniany 1 raz.
Okrąg wpisany jako jednostkowy i ciśniemy ze wzorku na pole z zespolonych ;d
2:
Najpierw pokażemy, że \(\displaystyle{ M}\) zawiera nieskończenie wiele elementów. Załóżmy, że jest inaczej i wszystkie jego elementy to \(\displaystyle{ p_1,...,p_k}\). Wówczas liczba \(\displaystyle{ p_1 \cdot ... \cdot p_k - 1}\) może być podzielna przez liczby pierwsze tylko z \(\displaystyle{ M}\), ale jednocześnie jest względnie pierwsza z \(\displaystyle{ M}\). sprzeczność.
Wobec tego wiemy, że M zawiera nieskończenie wiele elementów i że zawiera dwójkę (no to jest oczywiste). Zatem niech \(\displaystyle{ q}\) będzie najmniejszą liczbą pierwszą, która się nie zawiera w \(\displaystyle{ M}\). Wówczas dla wszystkich liczb \(\displaystyle{ p_1,p_2,... \in M}\) zachodzi \(\displaystyle{ p_i \neq 1 \ \text{modulo $q$}}\). A skoro tych liczb jest nieskończenie wiele, to pewna reszta (oczywiście różna od 0) wystąpi nieskończenie wiele razy, czyli w szczególności \(\displaystyle{ q-1}\) razy. No a \(\displaystyle{ a^{q-1} = q \ \text{modulo $q$}}\), czyli sprzeczność, czyli \(\displaystyle{ q}\) musi należeć do \(\displaystyle{ M}\)
Ostatnio zmieniony 2 cze 2012, o 22:01 przez kaszubki, łącznie zmieniany 1 raz.
Niech \(\displaystyle{ P(x)=1+...+x^n + 2011(x^{a_1}+...+x^{a_k}), Q(x)=1+...+x^m + 2011(x^{b_1}+...+x^{b_l})}\) i \(\displaystyle{ P(x)=Q(x) \cdot R(x)}\). (zakładam, że \(\displaystyle{ a_i \leq n, b_i \leq m}\))
Wówczas korzystając z faktu roku poprzedniego, który mówi, że \(\displaystyle{ 2011}\) jest liczbą pierwszą, dostajemy, że \(\displaystyle{ Q(\varepsilon_1)\equiv...\equiv Q(\varepsilon_{m})\equiv 0 \ \text{modulo 2011}}\), gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_i}\) to pierwiastek zespolony \(\displaystyle{ m+1\text{wszego}}\) stopnia z \(\displaystyle{ 1}\).
Wobec tego \(\displaystyle{ P(\varepsilon_1)\equiv...\equiv P(\varepsilon_{m})\equiv 0 \ \text{modulo 2011}}\), czyli \(\displaystyle{ \varepsilon_1 ^ {n+1} \equiv 1 \ \text{modulo 2011}}\), co zachodzi tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ m+1 | n+1}\)
nie jestem pewien, czy tu nie ma blefa.
Ostatnio zmieniony 4 cze 2012, o 14:28 przez kaszubki, łącznie zmieniany 1 raz.
Oto podział w którym wychodzi dokładnie \(\displaystyle{ 3 \cdot 2^{n-1}-2}\) prostokątów. Dla \(\displaystyle{ n>1}\) (Dla n równego 1 nie ma co dzielić) dzielimy nasz kwadrat jedną prostą poziomą i jedną pionową na 4 mniejsze kwadraty. 2 z nich pozostawiamy w całości a 2 pozostaje dzielimy tak jak n mniejszego o 1.
Oto "rozwiązanie" syntetyczne trzeciego : D. Raczej nic nikomu nie pomoże jak to przeczyta, ale żeby nie było, to ukrywam ; p.
Rozwiązanie:
Oznaczmy punkty styczności okręgu wpisanego z odpowiednimi bokami przez D, E, F (D na BC itd.). Poprowadźmy teraz przez nie proste prostopadłe do odpowiednich boków trójkąta \(\displaystyle{ H_AH_BH_C}\). Można udowodnić, ze przetną się one w jednym punkcie. Oznaczmy go przez \(\displaystyle{ G}\). Przez \(\displaystyle{ N}\) oznaczmy teraz punkt izogonalnie sprzężony do G w trójkącie \(\displaystyle{ H_AH_BH_C}\). Prawdą jest, że \(\displaystyle{ [BCN]=[H_BIH_C]}\), co po analogicznym wysumowaniu da tezę.
True story.
Jakieś obserwacje bardziej na serio związane z tym powyżej:
\(\displaystyle{ H_B, H_C}\) oraz \(\displaystyle{ D}\) są współliniowe, co można łatwo udowodnić, korzystając z faktu, że biegunową \(\displaystyle{ H_B}\) względem wpisanego jest linia środkowa trójkąta i analogicznie dla pozostałych.
N okazuje się punktem Nagela dla trójkąta, a to, że jakieśtam proste prostopadłe przecinają się w 1 punkcie to się wszystko dowodzi od drugiej strony .
To do tej pory umiem udowodnić, ale co do tej równości pól, to jednak nie jestem w stanie tego zrobić.
W zasadzie można by skorzystać z związku \(\displaystyle{ h_N+2r=h_A}\), gdzie \(\displaystyle{ h_X}\), to odleglosc X od BC i dalej powyrażać wszystko od boków trójkąta ABC, standardowo jakieś wzory na pole trójkąta, Heron i wyjdzie, ale to straaszny syf.
