[MIX][Klub 444] Runda trzecia
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- Coach
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 10 maja 2012, o 21:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Centralny Zielony Zamek Synchronizacji
[MIX][Klub 444] Runda trzecia
\(\displaystyle{ 1)}\) Dany jest kwadrat \(\displaystyle{ K}\). Dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ f(n)}\) oznacza największą możliwą liczbę prostokątów na jakie można podzielić \(\displaystyle{ K}\) w taki sposób aby dowolna linia równoległa do jakiegoś boku \(\displaystyle{ K}\) przecinała co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) wnętrz tych prostokątów. Wykazać, że \(\displaystyle{ 3 \cdot 2^{n-1} \le f(n) \le 3^n - 2}\).
\(\displaystyle{ 2)}\) Niech \(\displaystyle{ P}\) oznacza zbiór liczb pierwszych. Zbiór \(\displaystyle{ M}\) mający co najmniej \(\displaystyle{ 3}\) elementy jest podzbiorem \(\displaystyle{ P}\) takim, że dla każdego podzbioru \(\displaystyle{ A}\) zbioru \(\displaystyle{ M}\) wszystkie dzielniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ \prod_{p \in A}^{}p - 1}\) znajdują się w \(\displaystyle{ M}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ M=P}\).
\(\displaystyle{ 3)}\) Punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Punkty \(\displaystyle{ H_a}\), \(\displaystyle{ H_b}\) i \(\displaystyle{ H_c}\) to ortocentra odpowiednio trójkątów \(\displaystyle{ BIC}\), \(\displaystyle{ CIA}\) i \(\displaystyle{ AIB}\). Pokazać, że trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ H_aH_bH_c}\) mają równe pola.
\(\displaystyle{ 4)}\) Niech \(\displaystyle{ P(x)}\) i \(\displaystyle{ Q(x)}\) oznaczają wielomiany o współczynnikach całkowitych należących do zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2012\right\}}\) i stopniach odpowiednio \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\). Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ P(x)|Q(x)}\) to \(\displaystyle{ p+1|q+1}\).
\(\displaystyle{ 2)}\) Niech \(\displaystyle{ P}\) oznacza zbiór liczb pierwszych. Zbiór \(\displaystyle{ M}\) mający co najmniej \(\displaystyle{ 3}\) elementy jest podzbiorem \(\displaystyle{ P}\) takim, że dla każdego podzbioru \(\displaystyle{ A}\) zbioru \(\displaystyle{ M}\) wszystkie dzielniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ \prod_{p \in A}^{}p - 1}\) znajdują się w \(\displaystyle{ M}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ M=P}\).
\(\displaystyle{ 3)}\) Punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Punkty \(\displaystyle{ H_a}\), \(\displaystyle{ H_b}\) i \(\displaystyle{ H_c}\) to ortocentra odpowiednio trójkątów \(\displaystyle{ BIC}\), \(\displaystyle{ CIA}\) i \(\displaystyle{ AIB}\). Pokazać, że trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ H_aH_bH_c}\) mają równe pola.
\(\displaystyle{ 4)}\) Niech \(\displaystyle{ P(x)}\) i \(\displaystyle{ Q(x)}\) oznaczają wielomiany o współczynnikach całkowitych należących do zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2012\right\}}\) i stopniach odpowiednio \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\). Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ P(x)|Q(x)}\) to \(\displaystyle{ p+1|q+1}\).
Ostatnio zmieniony 2 cze 2012, o 22:16 przez Coach, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 62
- Rejestracja: 22 mar 2012, o 05:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 2 razy
[MIX][Klub 444] Runda trzecia
Ordyh: twój kontrprzykład nie działa, bo wszystkie współczynniki miały być równe 1 lub 2012.
Ostatnio zmieniony 3 cze 2012, o 15:25 przez Utumno, łącznie zmieniany 1 raz.
[MIX][Klub 444] Runda trzecia
Utumno, wtedy była jeszcze wersja z \(\displaystyle{ \{1,2,...,2012\}}\).
- Coach
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 10 maja 2012, o 21:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Centralny Zielony Zamek Synchronizacji
[MIX][Klub 444] Runda trzecia
W zadaniu \(\displaystyle{ 1}\) powinno być \(\displaystyle{ 3 \cdot 2^{n-1} -2 \le f(n) \le 3^n -2}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 53
- Rejestracja: 21 lut 2011, o 20:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Pomógł: 10 razy
- Swistak
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 99 razy
- Pomógł: 87 razy
[MIX][Klub 444] Runda trzecia
Oto "rozwiązanie" syntetyczne trzeciego : D. Raczej nic nikomu nie pomoże jak to przeczyta, ale żeby nie było, to ukrywam ; p.
Rozwiązanie:
Jakieś obserwacje bardziej na serio związane z tym powyżej: