Objętość bryły

[kaja92]

Mam takie zadanko:

Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
\(\displaystyle{ 2z=x^2+y^2}\)
\(\displaystyle{ z=\sqrt{x^2+y^2}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{2z}=z}\)
Czyli
\(\displaystyle{ z=2}\) lub \(\displaystyle{ z=0}\)
podstawiam do równania i wychodzi:
\(\displaystyle{ 4=x^2+y^2}\)
Zamieniam na biegunowe

\(\displaystyle{ 0 \le r \le 2}\)

\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \ 2 \pi}\)
I obliczam całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \left( \int_{0}^{2 \pi } \sqrt{r^2}r d \alpha \right) dr}\)

I po wyliczeniu mój wynik to \(\displaystyle{ \frac{16 \pi }{3 }}\)

A w odp \(\displaystyle{ \frac{4 \pi }{3 }}\)

Mógłby mi ktoś pomóc znaleźć błąd i wytłumaczyć dlaczego powinno być inaczej?

[Jacek_Karwatka]

granice całkowania są policzone ok
obszar z góry jest ograniczony powierzchnią \(\displaystyle{ z=\sqrt{x^2+y^2}}\), z dołu powierzchnią \(\displaystyle{ z= \frac{x^2+y^2}{2}}\)

trzeba policzyć całkę po kole z \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}-\frac{x^2+y^2}{2}=r- \frac{r ^{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ v=\int_{0}^{2} \left( \int_{0}^{2 \pi } (r- \frac{r ^{2} }{2})r d \alpha \right) dr}\)

[kaja92]

Dziękuję bardzo!