Wyznacz, wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\),
takie że liczba jej podzielników naturalnych równa jest \(\displaystyle{ \sqrt n}\)
[Teoria liczb] liczba podzielników
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
palazi
- Użytkownik
- Posty: 175
- Rejestracja: 6 wrz 2006, o 21:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łapy/Białystok
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 37 razy
[Teoria liczb] liczba podzielników
Niech:
\(\displaystyle{ n = p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}} \cdot ... \cdot p_{x}^{a_{x}}}\) gdzie \(\displaystyle{ p_{i}}\) rózne od \(\displaystyle{ p_{j}}\).
Oraz oczywiście:
\(\displaystyle{ \sqrt{n} = (a_{1} + 1)(a_{2}+1) \cdot ... \cdot (a_{x} + 1)}\) co daje:
\(\displaystyle{ n =[ (a_{1} + 1)(a_{2}+1) \cdot ... \cdot (a_{x} + 1) ]^2}\)
Stąd wiemy, że \(\displaystyle{ n}\) jest kwadratem l. całkowitej. A więc wykładnik potęgi każdej z liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_{i}}\) jest liczbą parzystą. Czyli: \(\displaystyle{ a_{i} = 2k_{i}}\) A więc:
\(\displaystyle{ n = p_{1}^{2k_{1}}p_{2}^{2k_{2}} \cdot ... \cdot p_{x}^{2k_{x}}}\) oraz:
\(\displaystyle{ n = [ (2k_{1} + 1)(2k_{2}+1) \cdot ... \cdot (2k_{x} + 1) ]^2}\)
Z tego drugiego równania widzimy, ze \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, wiec każde \(\displaystyle{ p_{i} >2}\). Teraz porównując pierwsze równanie z drugm mamy:
\(\displaystyle{ p_{1}^{2k_{1}}p_{2}^{2k_{2}} \cdot ... \cdot p_{x}^{2k_{x}} = [ (2k_{1} + 1)(2k_{2}+1) \cdot ... \cdot (2k_{x} + 1) ]^2}\) czyli:
\(\displaystyle{ p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}} \cdot ... \cdot p_{x}^{k_{x}} = (2k_{1} + 1)(2k_{2}+1) \cdot ... \cdot (2k_{x} + 1)}\)
Lecz teraz zauwazmy, ze na mocy nier. Bernouliego mamy:
\(\displaystyle{ p_{i}^{k_{i}} = (1 + p_{i} - 1)^{k_{i}} >= 1 + (p_{i} -1)k_{i} >= 1 + 2k_{i}}\)
Teraz mnoząc tą nierównośc stronami od \(\displaystyle{ i=1}\) do \(\displaystyle{ x}\) mamy nierówność:
\(\displaystyle{ p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}} \cdot ... \cdot p_{x}^{k_{x}} >= (2k_{1} + 1)(2k_{2}+1) ... (2k_{x} + 1)}\)
Ale przeciez w naszym zadaniu zachodzi równośc, stąd wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p_{i} = 3}\), ale na początku zakłądałem ze wszystkie liczby pierwsze są różne, więc \(\displaystyle{ n}\) w swoim rozkładzie posiada tylko jedną l. pierwszą - liczbę \(\displaystyle{ 3}\). Stad:
\(\displaystyle{ n = 3^{a_{1}} = 9^{k_{1}}}\) oraz liczba ta posiada \(\displaystyle{ \sqrt{n} = 2k_{1} + 1}\) dzielników. Wiedząc, ze ma być \(\displaystyle{ 3^{2k_{1}} = (2k_{1} + 1)^2}\) można łatwo wyznaczyć, ze tylko \(\displaystyle{ k_{1} = 1}\) oraz \(\displaystyle{ k_{1} = 0}\) spełnia to równanie. A wiec jedynymi rozwiązaniami są liczby:
\(\displaystyle{ n= 3^{0} = 1}\) oraz \(\displaystyle{ n= 3^{2\cdot 1} = 9}\)
... Łoo raaany, jak ja już tu dawno nie pisałem
\(\displaystyle{ n = p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}} \cdot ... \cdot p_{x}^{a_{x}}}\) gdzie \(\displaystyle{ p_{i}}\) rózne od \(\displaystyle{ p_{j}}\).
Oraz oczywiście:
\(\displaystyle{ \sqrt{n} = (a_{1} + 1)(a_{2}+1) \cdot ... \cdot (a_{x} + 1)}\) co daje:
\(\displaystyle{ n =[ (a_{1} + 1)(a_{2}+1) \cdot ... \cdot (a_{x} + 1) ]^2}\)
Stąd wiemy, że \(\displaystyle{ n}\) jest kwadratem l. całkowitej. A więc wykładnik potęgi każdej z liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_{i}}\) jest liczbą parzystą. Czyli: \(\displaystyle{ a_{i} = 2k_{i}}\) A więc:
\(\displaystyle{ n = p_{1}^{2k_{1}}p_{2}^{2k_{2}} \cdot ... \cdot p_{x}^{2k_{x}}}\) oraz:
\(\displaystyle{ n = [ (2k_{1} + 1)(2k_{2}+1) \cdot ... \cdot (2k_{x} + 1) ]^2}\)
Z tego drugiego równania widzimy, ze \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, wiec każde \(\displaystyle{ p_{i} >2}\). Teraz porównując pierwsze równanie z drugm mamy:
\(\displaystyle{ p_{1}^{2k_{1}}p_{2}^{2k_{2}} \cdot ... \cdot p_{x}^{2k_{x}} = [ (2k_{1} + 1)(2k_{2}+1) \cdot ... \cdot (2k_{x} + 1) ]^2}\) czyli:
\(\displaystyle{ p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}} \cdot ... \cdot p_{x}^{k_{x}} = (2k_{1} + 1)(2k_{2}+1) \cdot ... \cdot (2k_{x} + 1)}\)
Lecz teraz zauwazmy, ze na mocy nier. Bernouliego mamy:
\(\displaystyle{ p_{i}^{k_{i}} = (1 + p_{i} - 1)^{k_{i}} >= 1 + (p_{i} -1)k_{i} >= 1 + 2k_{i}}\)
Teraz mnoząc tą nierównośc stronami od \(\displaystyle{ i=1}\) do \(\displaystyle{ x}\) mamy nierówność:
\(\displaystyle{ p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}} \cdot ... \cdot p_{x}^{k_{x}} >= (2k_{1} + 1)(2k_{2}+1) ... (2k_{x} + 1)}\)
Ale przeciez w naszym zadaniu zachodzi równośc, stąd wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p_{i} = 3}\), ale na początku zakłądałem ze wszystkie liczby pierwsze są różne, więc \(\displaystyle{ n}\) w swoim rozkładzie posiada tylko jedną l. pierwszą - liczbę \(\displaystyle{ 3}\). Stad:
\(\displaystyle{ n = 3^{a_{1}} = 9^{k_{1}}}\) oraz liczba ta posiada \(\displaystyle{ \sqrt{n} = 2k_{1} + 1}\) dzielników. Wiedząc, ze ma być \(\displaystyle{ 3^{2k_{1}} = (2k_{1} + 1)^2}\) można łatwo wyznaczyć, ze tylko \(\displaystyle{ k_{1} = 1}\) oraz \(\displaystyle{ k_{1} = 0}\) spełnia to równanie. A wiec jedynymi rozwiązaniami są liczby:
\(\displaystyle{ n= 3^{0} = 1}\) oraz \(\displaystyle{ n= 3^{2\cdot 1} = 9}\)
... Łoo raaany, jak ja już tu dawno nie pisałem
-
waral
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 14 sty 2009, o 21:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Katowice
- Pomógł: 3 razy
[Teoria liczb] liczba podzielników
To jest zadanie z bodajże 2. etapu LV OM, wzorcówka jest całkiem elegancka, jest tam raczej więcej wnioskowania niż liczenia/przekształcania