Funkcja kwadratowa z parametrem

[brookpetit]

Wyznacz wartości parametru m, dla których równanie:
\(\displaystyle{ x^{2} -\left( m+1\right)x+m^{2}+m-2=0}\)
ma dwa rozwiązania, jedno w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0;2\right)}\), a drugie w przedziale \(\displaystyle{ \left( 3;5\right)}\)

Licząc to bez żadnego konkretnego sposobu wychodzi bardzo dużo założeń i skomplikowana postać. Próbowałem też przyjąć że jedno miejsce zerowe ma postać np.\(\displaystyle{ t}\), a drugie \(\displaystyle{ t+3}\), jako o \(\displaystyle{ 3}\) większe od pierwszego i tak otrzymana postać iloczynową porównać do postaci ogólnej, jednak niewiele to pomogło. Czy jest jakiś sprytny sposób na to by dać sobie radę z taką nierównością? Spotykałem podobne zadania, jednak wtedy zawsze parametry redukowały się przy liczeniu delty. Proszę o pomoc.

[alik21]

\(\displaystyle{ x _{1} >0}\) i \(\displaystyle{ x _{1} <2}\) a \(\displaystyle{ x _{2} >3}\) i

\(\displaystyle{ x _{2} <5 \\ x _{1} +x _{2} >3}\)

i \(\displaystyle{ x _{1} +x _{2} <7}\) i \(\displaystyle{ x}\) wierzchołka musi być \(\displaystyle{ >0}\) i \(\displaystyle{ <5}\) do tego \(\displaystyle{ F(0)>0}\) i \(\displaystyle{ F(5)<0}\) no i oczywiście delta większa od \(\displaystyle{ 0}\) żeby były \(\displaystyle{ 2}\) różne pierwiastki, jak rozważysz wszystkie te przypadki to łączna odpowiedź powinna ci wyjść \(\displaystyle{ m}\) należy do przedziału \(\displaystyle{ (1,3)}\)

[Jacek_Karwatka]

można napisać warunki:
\(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}= \frac{-b}{a}=m+1 \in \left\langle 3,7 \right\rangle \Rightarrow m \in \left\langle 2,6\right\rangle}\)

\(\displaystyle{ x _{1} \cdot x _{2}= \frac{c}{a}=m ^{2}+m-2 \in \left\langle 0, 10\right\rangle}\) biorąc pod uwagę wcześniejsze ograniczenia mamy
\(\displaystyle{ m \in \left\langle 2,3\right\rangle}\)

\(\displaystyle{ \Delta=b ^{2}-4ac=(x+1) ^{2}-4(m ^{2}+m-2)=-3m ^{2}-2m+9>0}\)

ale dla \(\displaystyle{ m \in \left\langle 2,3\right\rangle \ \ \ \ \Delta=-3m ^{2}-2m+9<0}\)
mamy sprzeczność. Te trzy warunki są konieczne, choć nie wystarczające aby wyznaczyć parametr \(\displaystyle{ m}\). Mimo to mamy sprzeczność. Wniosek brak rozwiązań.