Całka niewłaściwa

[Kyrtap20]

Mam do rozwiązania taką całkę, kompletnie nie wiem jak się za nią zabrać. Nie mam pomysłu na nią. Mam nadzieję, że pomożecie. Z góry dziękuję za Wasz poświęcony czas .


\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{1}{( x^{2}+1 ) \cdot (arctanx) ^{2}}dx}\)

[miodzio1988]

Za arcusa podstawienie

[Kyrtap20]

A możesz to jakoś bardziej rozwinąć, bo naprawdę mam z nią problem. Sorry za kłopot

[miodzio1988]

A możesz zrobić podstawienie o którym mówię/?

[Kyrtap20]

Sorry, nie zrozumiałem o co Ci chodzi

Rozwiązałem to w ten sposób.

\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{1}{( x^{2}+1 ) \cdot (arctanx) ^{2}}dx= \lim_{T \to \infty }\int_{1}^{ \1T } \frac{1}{( x^{2}+1 ) \cdot (arctanx) ^{2}}dx=...}\)

\(\displaystyle{ ...=\int_{}^{ \ } \frac{1}{( x^{2}+1 ) \cdot (arctanx) ^{2}}dx=\left[ t=arctanx,dt= \frac{1}{x ^{2}+1 }dx,dt= \frac{dx}{x ^{2}+1 } \right]= \int_{}^{} \frac{dt}{t ^{2} }= \int_{}^{} \frac{1}{t ^{2} } dt= \int_{}^{} t ^{-2} dt=- \frac{1}{t} +c}\)

\(\displaystyle{ ...\left[ - \frac{1}{arctanx} \right] \frac{T}{1} =\left( -\frac{1}{arctanT} \right)-\left( - \frac{1}{arctan1} \right)=- \frac{1}{arctanT}+ \frac{4}{ \pi }}\)

\(\displaystyle{ ... \lim_{ T\to \infty }\left( - \frac{1}{arctanT}+ \frac{4}{ \pi } \right) =- \frac{2}{ \pi }+ \frac{4}{ \pi } = \frac{2}{ \pi }}\)


Czy mógłby ktoś potwierdzić czy dobrze?

[sympatia17]

wynik jest poprawny.