[Analiza] Całka iloczynu kosinusów

[luka52]

Oblicz:

\(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} \left( \prod_{n = 1}^{+\infty} \cos \frac{x}{n}\right) \, \mbox d x}\)

[JakimPL]

Rzecz dosyć łatwa, to:

\(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} \left( \prod_{n = 1}^{+\infty} \cos \frac{x}{n}\right) \, \mbox d x \approx \int_0^{+\infty} \left( \prod_{n = 1}^{+\infty} \cos \frac{x}{2^{n-1}}\right) \, \mbox d x=\frac{\pi}{4}}\)

przy czym różnica bezwzględna jest stosunkowo malutka. Jakiś hint co do dokładnej wartości?

[koobstrukcja]

W poniższym artykule na stronie 12 jest napisane, że ta wartość jest ostro mniejsza niż \(\displaystyle{ \pi/4}\).

[luka52]

Mhm. Zabawa z metodami rachunku prawdopodobieństwa daje pewne rezultaty.
Na funkcję podcałkową można popatrzeć jako iloczyn funkcji charakterystycznych prawdopodobieństwa i ostatecznie po odpowiednich przekształceniach otrzymać, że wartość te całki to \(\displaystyle{ \pi / 4}\) pomniejszone o pewne prawdopodobieństwo.
Właśnie to, że można tak zapisać tę całkę mi się spodobało .

[Brycho]

A co wy na takie coś. Niech
\(\displaystyle{ f_n=\prod_{i=1}^{n}\cos \frac{x}{i}}\).
Zawsze \(\displaystyle{ f_n(-x)=f_n(x)}\), czyli
\(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty}f_n(x)dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}f_n(x)}\).
\(\displaystyle{ f_n}\) ma okres \(\displaystyle{ 2\pi n!}\).
Z tego, że całka na całej dziedzinie jest skończona wnioskuje, że całka na okresie wynosi \(\displaystyle{ 0}\) (bo gdyby było inaczej to byłaby nieskończona). Zatem całka na \(\displaystyle{ \mathbb R}\) dla \(\displaystyle{ f_n}\) wynosi \(\displaystyle{ 0}\).
Tylko mam problem jakie przejście zrobić dla \(\displaystyle{ n=+\infty}\).
Pewnie źle.

[luka52]

Brycho, przechodzisz z całkowania po dość specyficznie dobranym ciągu przedziałów do całkowania po \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Analogicznie możnaby pokazać, że \(\displaystyle{ \sum (-1)^n = 0}\).

Jest dość istotna różnica, czy do scałkowania jest skończony czy nieskończony iloczyn kosinusów.

[JakimPL]

Brycho, jaki jest okres:

\(\displaystyle{ 2\pi n!}\)

jeżeli \(\displaystyle{ n\to\infty}\)?