Pochodna kierunkowa

[dawid92wr]

1. Obliczyć pochodną kierunkową funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=x^2-xy+y^2}\) w punkcie \(\displaystyle{ p=(1,1)}\) w kierunku wektora jednostkowego, tworzącego kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) z osią \(\displaystyle{ OX}\). W jakim kierunku ta pochodna ma wartość:
a) najmniejszą,
b) największą,
c) równą zeru ?

Mógłby ktoś pomóc jak obliczyć największą najmniejszą wartość i równą zeru?

[Lorek]

Wyznacz pochodną dla dowolnego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\), a w wyniku otrzymasz funkcję tej zmiennej, dla której to funkcji będziesz szukać odpowiedzi. A pochodną możesz albo z definicji albo ze wzoru policzyć (bo masz funkcję różniczkowalną).

[dawid92wr]

A mógłbyś chociaż jedną wartość pomóc obliczyć, bo nie bardzo rozumiem. Dzięki wielkie.

[octahedron]

\(\displaystyle{ \vec{u}=[\cos\alpha,\sin\alpha]\\\\
D_{\vec{u}}f(x,y)=Df(x,y)\cdot\vec{u}=[2x-y,2y-x]\cdot[\cos\alpha,\sin\alpha]=\\\\=(2x-y)\cos\alpha+(2y-x)\sin\alpha\\\\
D_{\vec{u}}f(1,1)=\cos\alpha+\sin\alpha=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+\sin\alpha=2\sin\frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\\\\=\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)}\)

no i teraz chyba już łatwo?

[dawid92wr]

\(\displaystyle{ D_{\vec{u}}f(1,1)=\cos\alpha+\sin\alpha=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+\sin\alpha=2\sin\frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\\\\=\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)}\)

nie bardzo rozumiem co tu się wydarzyło skąd \(\displaystyle{ \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}\) i później \(\displaystyle{ 2\sin\frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)}\) No i co ten wynik oznacza jakbyś mógł wytłumaczyć. Nie było o tym słowem wspomniane, a na liście jest.

[octahedron]

Wzory redukcyjne funkcji trygonometrycznych oraz wzór na sumę sinusów.

[dawid92wr]

A ten wynik o czym świadczy?

[octahedron]

Że pochodna zależy od kąta.