Podprzestrzeń niezmiennicza= kerA lub ImA?

[dawid92wr]

Wyznaczyć podprzestrzeń niezmienniczą operatora określonego następującą
macierzą

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&0\\4&1&0\\0&0&7\end{array}\right]}\)

Mógłby ktoś pomóc jak rozwiązać to zadanie?

[janusz47]

Oblicz wartości własne operatora:
\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{ccc}1-\lambda &2&0\\ 4&1-\lambda&0\\ 0&0&7-\lambda\end{array}\right|= 0}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{1} = 7, \lambda_{2} = 1-2\sqrt{2}, \lambda_{3}= 1+2\sqrt{2}.}\)
Wyznacz wektory własne odpowiadjące wartościom własnym \(\displaystyle{ \lambda_{i}, i=1,2,3.}\)
\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{ccc}1-\lambda_{i}&2&0\\ 4&1-\lambda_{i}&0 \\0&0&7-\lambda_{i}\end{array}\right|\cdot \left[\begin{array}{c}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}0\\ 0 \\ 0\end{array}\right].}\)
Wyznacz podprzestrzenie niezmiennicze przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}:}\)
\(\displaystyle{ V_{1} = \left\{ \left[\begin{array}{c}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c} -\frac{\sqrt{2}}{2}a \\ a\\ b\end{array}\right], a,b \in R \right\};}\)
\(\displaystyle{ V_{2} = \left\{ \left[\begin{array}{c}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c} \frac{\sqrt{2}}{2}a \\ a\\ b\end{array}\right], a,b \in R \right\}.}\)

[dawid92wr]

Czyli podprzestrzeń niezmiennicza składa się z wektorów własnych tak? dobrze rozumiem? i nie rozumiem dlaczego w książce jest napisane: Dla każdego przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ A:R ^{n} \rightarrow R^{n}}\) podprzestrzeniami niezmienniczymi są np.KerA i ImA.

[Ein]

Jak weźmiesz element \(\displaystyle{ v}\) z jądra \(\displaystyle{ \text{ker}(A)}\), to \(\displaystyle{ Av=0}\), czyli \(\displaystyle{ Av\in\text{ker}(A)}\), a więc: \(\displaystyle{ A(\text{ker}(A))\subseteq\text{ker}(A)}\), czyli jądro jest \(\displaystyle{ A}\)-niezmiennicze.

Podobnie dla obrazu \(\displaystyle{ \text{im}(A)}\).