Surjekcja z X na P(x)

[nessie129]

Mam takie zadania:
1) Pokazać, że nie istnieje surjekcja z \(\displaystyle{ X}\) na \(\displaystyle{ P(X)}\), gdzie \(\displaystyle{ P(X)}\) jest zbiorem potęgowym zbioru \(\displaystyle{ X}\) (tzn. rodziną wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\)).
2) Dla \(\displaystyle{ A,B \subset \mathbb R}\) przyjmijmy \(\displaystyle{ A+B=\{a+b:a \in A,b \in B\}}\). Sprawdzić, czy \(\displaystyle{ A+B}\) jest otwarty (domknięty), gdy \(\displaystyle{ A,B}\) są otwarte (domknięte).
Jak to rozwiązać, z czego należy skorzystać, żeby to pokazać?

[Jan Kraszewski]

Ad 1. Rozumuj nie wprost. Przypuść, że taka surjekcja \(\displaystyle{ f}\) istnieje i zbadaj zbiór \(\displaystyle{ A=\{x\in X: x \notin f(x)\}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ A\in P(X)}\), więc powinno istnieć \(\displaystyle{ a\in X}\) takie, że \(\displaystyle{ A=f(a)}\).

Ad 2. Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ A+B=\bigcup_{b\in B}A+b}\).

JK

[nessie129]

Nie wiem jak się za to zabrać, może ktoś potrafi to rozwiązać? Te wskazówki mało mi mówią

[brzoskwinka1]

2) weź zbiory \(\displaystyle{ A=\left\{n+\frac{1}{n} :n\in\mathbb{N} \wedge n \ge 2\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ B=\{-n:n\in\mathbb{N} \wedge n \ge 2\}}\) , pokaż, że są to zbiory domknięte i zastanów się, czy zbiór \(\displaystyle{ A+B}\) jest domknięty.