Centralne tw. graniczne dla monety

[Bartek1991]

Rzucamy monetą 900 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uzyskamy co najmniej 465 orłów?

Chcemy zatem policzyć \(\displaystyle{ P(X_1 +...+X_{900} > 465)}\) gdzie \(\displaystyle{ P(X_i=1) = \frac{1}{2}}\) (wyrzucenie orła) oraz \(\displaystyle{ P(X_i=0) = \frac{1}{2}}\) (wyrzucenie reszki)

Podstawowe wielkości:
\(\displaystyle{ EX = \frac{1}{2} , EX^2 = \frac{1}{2}, VarX = \frac{1}{4}}\)
Dalej mamy \(\displaystyle{ \sigma = \sqrt{VarX} = \frac{1}{2}}\).
Przyjmuję, że\(\displaystyle{ X_{900} = \frac{X_1 + ...+X_{900}}{900}}\). Wtedy muszę policzyć:

\(\displaystyle{ P(900X_{900} > 465) = P(X_{900} > \frac{465}{900}) = P( X_{900} - EX > \frac{465}{900} - \frac{1}{2}) = P( \frac{X_{900}-EX}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}} > \frac{\frac{465}{900}-\frac{1}{2}}{\frac{1/2}{30}} = 1 - \Phi (\frac{\frac{465}{900}-\frac{1}{2}}{\frac{1/2}{30}}) = 1-\Phi(1) = 0,15866}\)

Byłbym bardzo wdzięczny gdyby ktoś sprawdził ten rachunek.

[Nakahed90]

Wynik jest poprawny.