Witam dostałem do rozwiązania za "kare" dwa równania zupełnie nie wiem jak sie do nich zabrać prosze o wyjasnienie i rozwiazanie "krok po kroku" jak to sie "je"
1. równanie jednorodne względem x i y
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\)=\(\displaystyle{ \frac{y}{x}}\)+tg\(\displaystyle{ \frac{y}{x}}\)
2. równanie różniczkowe wyższego rzedu o stalych współczynnikach
\(\displaystyle{ y^{(4)}}\)-3y"=\(\displaystyle{ 9x^{2}}\)
Rozwiązac równania różniczkowe
-
soku11
- Użytkownik
- Posty: 6589
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
Rozwiązac równania różniczkowe
1.
\(\displaystyle{ u(x)=\frac{y(x)}{x}\\
y(x)=x\cdot u(x)\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=u(x)+x\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x}\\
u(x)+x\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x} = u(x)+tg u(x)\\
x\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x} = tg u\\
\mbox{d}u \cot u=\frac{\mbox{d}x}{x}\\
t \frac{\cos u}{\sin u}\mbox{d}u=\int \frac{\mbox{d}x}{x}\\
\ln |\sin u|=\ln |x|+\ln |C|\\
\sin u = Cx\\
u=\arcsin (Cx)\\
y(x)=x\arcsin (Cx)\\}\)
POZDRO
\(\displaystyle{ u(x)=\frac{y(x)}{x}\\
y(x)=x\cdot u(x)\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=u(x)+x\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x}\\
u(x)+x\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x} = u(x)+tg u(x)\\
x\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x} = tg u\\
\mbox{d}u \cot u=\frac{\mbox{d}x}{x}\\
t \frac{\cos u}{\sin u}\mbox{d}u=\int \frac{\mbox{d}x}{x}\\
\ln |\sin u|=\ln |x|+\ln |C|\\
\sin u = Cx\\
u=\arcsin (Cx)\\
y(x)=x\arcsin (Cx)\\}\)
POZDRO
-
charlie85
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 14 mar 2008, o 02:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: k-lin/w-wa
- Pomógł: 5 razy
Rozwiązac równania różniczkowe
2. \(\displaystyle{ y^{(4)}-3y''=9x^2}\)
Jest to równanie liniowe niejednorodne rzędu czwartego. Można je zatem rozwiązać metodą przewidywań lub uzmienniania stałych. Ta pierwsza jest oczywiście szybsza w tym przypadku, więc tę właśnie zastosujemy.
a) rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne: \(\displaystyle{ y^{(4)}-3y''=0}\)
Równanie charakterystyczne ma postać:
\(\displaystyle{ \lambda ^4-3\lambda^2=0 \iff \lambda^2(\lambda-\sqrt{3})(\lambda+\sqrt{3})=0}\)
zatem pierwiastki charakterystyczne to:
\(\displaystyle{ \lambda=0}\) (podwójny), \(\displaystyle{ \lambda=\pm\sqrt{3}}\) (pojedyncze)
zatem rozwiązania szczególne równania jednorodnego są postaci:
\(\displaystyle{ y_1=e^{0x}=1,\ y_2=xe^{0x}=x,\ y_3=e^{-\sqrt{3}x},\ y_4=e^{\sqrt{3}x}}\)
czyli rozwiązanie ogólne równania jednorodnego:
\(\displaystyle{ y_{OJ}=C_1+C_2x+C_3e^{-\sqrt{3}x}+C_4e^{\sqrt{3}x},\ \ C_1,C_2,C_3,C_4\in\mathbb{R}}\)
b) rozwiązujemy równanie niejednorodne: \(\displaystyle{ y^{(4)}-3y''=9x^2}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \lambda=0}\) jest pierwiastkiem charakterystycznym podwójnym to rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego przewidujemy w postaci \(\displaystyle{ y=x^2(ax^2+bx+c)=ax^4+bx^3+cx^2}\)
(ogólnie: jeśli prawa strona to wielomian stopnia \(\displaystyle{ k}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda=0}\) jest \(\displaystyle{ \nu}\)-krotnym pierwiastkiem charakterystycznym, to rozwiązanie szczególne r-nia niejednorodnego przewidujemy w postaci \(\displaystyle{ y=x^{\nu}W_k(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ W_k(x)}\) jest wielomianem tego samego stopnia co wielomian po prawej stronie (tu stopnia drugiego))
Ów rozwiązanie wstawiamy do równania i obliczamy współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c}\):
\(\displaystyle{ y'=4ax^3+3bx^2+2cx\\
y''=12ax^2+6bx+2c\\
y'''=24ax+6b\\
y^{(4)}=24a}\)
wstawiamy do równania i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 24a-3(12ax^2+6bx+2c)=9x^2\\
-36ax^2-18bx+24a-6c=9x^2}\)
porównując stronami współczynniki przy odpowiednich potęgach dostajemy:
\(\displaystyle{ a=-\frac{1}{4},\ b=0,\ c=-1}\), zatem rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego jest:
\(\displaystyle{ y_{SN}=-\frac{1}{4}x^4-x^2}\)
c) Ostatecznie rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego oraz rozwiązania ogólnego równania jednorodnego:
\(\displaystyle{ y_{ON}=y_{SN}+y_{OJ}}\)
czyli
\(\displaystyle{ y_{ON}=-\frac{1}{4}x^4-x^2+C_1+C_2x+C_3e^{-\sqrt{3}x}+C_4e^{\sqrt{3}x},\ C_1,C_2,C_3,C_4\in\mathbb{R}}\)
Jest to równanie liniowe niejednorodne rzędu czwartego. Można je zatem rozwiązać metodą przewidywań lub uzmienniania stałych. Ta pierwsza jest oczywiście szybsza w tym przypadku, więc tę właśnie zastosujemy.
a) rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne: \(\displaystyle{ y^{(4)}-3y''=0}\)
Równanie charakterystyczne ma postać:
\(\displaystyle{ \lambda ^4-3\lambda^2=0 \iff \lambda^2(\lambda-\sqrt{3})(\lambda+\sqrt{3})=0}\)
zatem pierwiastki charakterystyczne to:
\(\displaystyle{ \lambda=0}\) (podwójny), \(\displaystyle{ \lambda=\pm\sqrt{3}}\) (pojedyncze)
zatem rozwiązania szczególne równania jednorodnego są postaci:
\(\displaystyle{ y_1=e^{0x}=1,\ y_2=xe^{0x}=x,\ y_3=e^{-\sqrt{3}x},\ y_4=e^{\sqrt{3}x}}\)
czyli rozwiązanie ogólne równania jednorodnego:
\(\displaystyle{ y_{OJ}=C_1+C_2x+C_3e^{-\sqrt{3}x}+C_4e^{\sqrt{3}x},\ \ C_1,C_2,C_3,C_4\in\mathbb{R}}\)
b) rozwiązujemy równanie niejednorodne: \(\displaystyle{ y^{(4)}-3y''=9x^2}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \lambda=0}\) jest pierwiastkiem charakterystycznym podwójnym to rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego przewidujemy w postaci \(\displaystyle{ y=x^2(ax^2+bx+c)=ax^4+bx^3+cx^2}\)
(ogólnie: jeśli prawa strona to wielomian stopnia \(\displaystyle{ k}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda=0}\) jest \(\displaystyle{ \nu}\)-krotnym pierwiastkiem charakterystycznym, to rozwiązanie szczególne r-nia niejednorodnego przewidujemy w postaci \(\displaystyle{ y=x^{\nu}W_k(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ W_k(x)}\) jest wielomianem tego samego stopnia co wielomian po prawej stronie (tu stopnia drugiego))
Ów rozwiązanie wstawiamy do równania i obliczamy współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c}\):
\(\displaystyle{ y'=4ax^3+3bx^2+2cx\\
y''=12ax^2+6bx+2c\\
y'''=24ax+6b\\
y^{(4)}=24a}\)
wstawiamy do równania i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 24a-3(12ax^2+6bx+2c)=9x^2\\
-36ax^2-18bx+24a-6c=9x^2}\)
porównując stronami współczynniki przy odpowiednich potęgach dostajemy:
\(\displaystyle{ a=-\frac{1}{4},\ b=0,\ c=-1}\), zatem rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego jest:
\(\displaystyle{ y_{SN}=-\frac{1}{4}x^4-x^2}\)
c) Ostatecznie rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego oraz rozwiązania ogólnego równania jednorodnego:
\(\displaystyle{ y_{ON}=y_{SN}+y_{OJ}}\)
czyli
\(\displaystyle{ y_{ON}=-\frac{1}{4}x^4-x^2+C_1+C_2x+C_3e^{-\sqrt{3}x}+C_4e^{\sqrt{3}x},\ C_1,C_2,C_3,C_4\in\mathbb{R}}\)
