nierówność wykładnicza

[tujestmalowany]

Witam może ktoś pomóc rozwiązać taki przykład nierówności?

\(\displaystyle{ 3^{ \frac{x}{x+2} } > \frac{ \sqrt{9} }{3 ^{ \frac{1}{x-1} }}}\)

proszę o opisanie jak należy to zadanie rozwiązać.
Pozdrawiam

[loitzl9006]

Najpierw przedstawiamy \(\displaystyle{ \sqrt{9}}\) jako \(\displaystyle{ 3 ^{1}}\), potem po prawej stronie mamy dzielenie potęg o tych samych podstawach (czyli należy podstawę potęgi przepisać bez zmian, a wykładniki odjąć), a następnie skorzystać z tego, że jeżeli w dwóch liczbach podstawa potęgi jest taka sama i większa od jedynki (tutaj tak jest, bo mamy trójkę), to większa jest ta liczba, która ma większy wykładnik. Trzeba zatem opuścić podstawę i zająć się samymi wykładnikami.

[tujestmalowany]

tak tylko, że ja potrzebuję dojść do rozwiązania tzn wyznaczyc "X" a nie napisać ktora jest większa lub mniejsza

[loitzl9006]

Moje wskazówki, które dotychczas napisałem, pomagają dojść do rozwiązania. Skorzystaj z nich.

[tujestmalowany]

dochodzę do momentu gdy opuszczamy podstawę i zostaje coś takiego \(\displaystyle{ \frac{x}{x+2} > 1- \frac{1}{x-1}}\)mnożę całość przez \(\displaystyle{ (x+2) ^{2} \cdot (x-1) ^{2}}\) i wychodzi ogromna ilość działań do wykonania i chodzi mi o to aby ktoś to rozwiązał bo nie wiem gdzie popelniam bląd bo nigdy nie wychodzi prawidlowy wynik

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ \frac{x}{x+2} > 1- \frac{1}{x-1}}\)


To może spróbuj przerzucić wszystko na jedną stronę i sprowadzić do wspólnego mianownika.

[tujestmalowany]

tak też robię, \(\displaystyle{ \frac{x}{x+2} > 1- \frac{1}{x-1}}\) całość mnożę przez \(\displaystyle{ (x+2)^{2}(x-1)^{2}}\)
i otrzymuję \(\displaystyle{ x(x+2)(x-1)^{2} > (x+2)^{2}(x-1)^{2} -(x+2)^{2} (x-1)}\) pozniej przenoszę wszystko na jedną stronę i gdy zaczynam mnozyc poszczegolne nawiasy to się już kompletnie gubię, za każdym razem wychodzi cos innego własnie chodzi mi o to aby ktos pomogl to rozwiazac rozpisac jak to ma byc zrobione

[AloneAngel]

\(\displaystyle{ \frac{x}{x + 2} - 1 + \frac{1}{x-1} > 0}\) Teraz sprowadź do wspólnego mianownika...

[tujestmalowany]

czy tego nie widzisz co napisałam wyzej? dokładnie robię to o czym piszecie ! usuwam mianowniki mnożąc całą nierówność przez \(\displaystyle{ (x+2)^{2}(x-1)^{2}}\) jak macie inny sposob to proszę napiszcie co mam innego zrobic

[AloneAngel]

Ja bym to zrobił tak < myślę, że dobrze > :

\(\displaystyle{ \frac{x}{x + 2} - 1 + \frac{1}{x-1} > 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{x(x-1)}{(x+2)(x-1)} - \frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)} + \frac{x+2}{(x-1)(x+2)} > 0}\)

Po skróceniu itp. otrzymuję nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{-x + 4}{(x-1)(x+2)} > 0}\)

Nierówność ta jest większa od zera, gdy:

\(\displaystyle{ a)}\) i licznik i mianownik są wieksze od zera;
\(\displaystyle{ b)}\) i licznik i mianownik są mniejsze od zera;

Więc rozpatruję dwa przypadki.

\(\displaystyle{ \begin{cases} -x + 4 > 0 \\ (x-1)(x+2) > 0 \end{cases} \vee \begin{cases} -x + 4 < 0 \\ (x-1)(x+2) < 0 \end{cases}}\)

[tujestmalowany]

te rozpatrywanie jest raczej nie potrzebne, gdy wychodzi \(\displaystyle{ \frac{-x + 4}{(x-1)(x+2)} > 0}\)
rozwiązanie wychodzi samo :
\(\displaystyle{ x \neq 1}\)
\(\displaystyle{ x \neq -2}\)
\(\displaystyle{ -x+4 > 0}\)
a więc \(\displaystyle{ -x>-4 \Rightarrow x<4}\)

czyli zbiór liczb mniejszych od 4, ale oprócz 1 i -2 czyli \(\displaystyle{ x \in (- \infty ; -2) \cup (1;4)}\) myslę, ze dobrze zrozumialem niech ktos mnie poprawi jak cos zle mysle.

[AloneAngel]

No w sumie tak. W każdym razie tak miało wyjść.

[tujestmalowany]

dziekuje za pomoc