Moment bezwładności walca.

[MateuszS]

Witam, co liczę źle?

\(\displaystyle{ q - \mbox{gęstość} \\
V = \pi r^{2} \cdot h - \mbox{objętość} \\
m = q \cdot V \\
\mbox{d}m = q \cdot \mbox{d}V \\
\mbox{d}m = q \cdot 2\pir \cdot h \mbox{d}r \ - \ \mbox{pochodna z } \ V\\ \\
I = \int_{\frac{-R}{2}}^{\frac{R}{2}}r^{2}\\
I = 2q \pi h \int_{\frac{-R}{2}}^{\frac{R}{2}} r^{3} = ... = \frac{1}{32}MR^{2}}\)

Pomyliłem się w obliczeniach czy koncepcji?

[octahedron]

\(\displaystyle{ I=\int_V r^2\rho\,dV=\rho\int_0^{2\pi}\int_0^H\int_0^R r^2\cdot r\,drdhd\varphi=\frac{\pi R^4H\rho}{2}=\frac{mR^2}{2}}\)

[MateuszS]

co to jakiś kąt, skąd się wziął? Proszę o wytłumaczenie jak dla zielonego. Po co te 3 całki?

[octahedron]

Całka po objętości, czyli po trzech współrzędnych przestrzennych. Akurat tutaj stosujemy współrzędne walcowe, bo tak wygodniej.

[MateuszS]

Moge to stosowac dla kazdej figury przestrzennej? Te \(\displaystyle{ dr, dh}\) itd to dotycza po kolei pierwszej, drugiej itd calki? A to \(\displaystyle{ r^2}\) i \(\displaystyle{ r}\)?

[AiDi]

Z definicji całkujemy po objętości, więc musisz jakieś współrzędne obrać. \(\displaystyle{ dr}\) tyczy się elementu długości radialnej, \(\displaystyle{ dh}\) elementu wysokości.

[octahedron]

Można to też policzyć całką pojedynczą. Walec możemy potraktować jako sumę cienkich rur grubości \(\displaystyle{ \Delta r}\), wysokości \(\displaystyle{ H}\) i promieniach rosnących od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ R}\). Mamy wtedy:

\(\displaystyle{ I=\sum \Delta I=\sum \Delta V\rho r^2=\sum 2\pi rH\Delta r\rho r^2=2\pi H\rho\sum r^3\Delta r\stackrel{\Delta r\to 0}{=}2\pi H\rho\int_0^Rr^3\,dr=\\=\frac{\pi R^4H\rho}{2}=\frac{mR^2}{2}}\)

[MateuszS]

No właśnie bardziej interesuje mnie ta całka pojedyncza. A można walec potraktować jako wiele nieskończenie cienkich prostokątów o wysokości \(\displaystyle{ H}\) gdzie zwiększa się tylko jego szerokość? Bo jakoś te rury są mało intuicyjne dla mnie

PS i dlaczego tam jest \(\displaystyle{ 2 \pi}\) a nie \(\displaystyle{ pi \cdot r^2}\) ?

[octahedron]

Można, ale punkty takiego prostokąta nie są w jednakowej odległości od osi, zależy ona od promienia i szerokości, więc mamy już funkcję dwóch zmiennych. Te rury są dla mnie prostsze, wkładamy rury jedną w drugą i w końcu wychodzi pełny walec.

[MateuszS]

Faktycznie więc, jak zrobić taki myk w kuli czy stożku? Kula to by była sumą sfer? A stożek?

[kruszewski]

A stożek? - sumą cienkich walców o liniowo zmieniającym się promieniu.
Dzielimy stożek o promieniu R i wysokości H z wierzchołkiem w początku układu współrzędnych o osi 0y bedącej osią symetrii stożka na walcowe plasterki o wysokości \(\displaystyle{ dh}\) odległe od wierzchołka o \(\displaystyle{ z}\) . Wtedy \(\displaystyle{ dI _{z} = \frac{1}{2} \pi \rho \cdot r ^{4} dz}\)
a \(\displaystyle{ \frac{R}{H} = \frac{r}{z}}\) ; i \(\displaystyle{ dI= \frac{1}{2} \pi \rho \frac{R^4}{H^4} dz}\)

\(\displaystyle{ I_z= \int_{0}^{H} \frac{1}{2} \pi \rho \frac{R^4}{H^4}z^4 dz = \frac{1}{10} \pi \rho R^4 H}\)
Ale \(\displaystyle{ \rho= \frac{V}{m} = \frac{3m}{\piR^2H}}\)
To po podstawieniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ I_z = \frac{3}{10} mR^2}\);
W.Kr.

[octahedron]

Dla kuli byłyby sfery, gdyby chodziło o moment względem punktu, a tu chyba chodzi o taki względem osi. Czyli dalej rury, tylko o zmieniającej się wysokości:

\(\displaystyle{ I=\sum 2\pi r\cdot 2\sqrt{R^2-r^2}\Delta r \rho r^2\stackrel{\Delta r\to 0}{=}4\pi \rho\int_0^R r^3\sqrt{R^2-r^2}\,dr=\frac{8\pi R^5\rho}{15}=\frac{2mR^2}{5}}\)

Dla stożka:

\(\displaystyle{ I=\sum 2\pi r\Delta rH\left(1-\frac{r}{R}\right) \rho r^2\stackrel{\Delta r\to 0}{=}2\pi H\rho\int_0^R r^3\left( 1-\frac{r}{R}\right)\,dr=\\=\frac{\pi R^4H\rho}{10}=\frac{3mR^2}{10}}\)

A jest \(\displaystyle{ 2\pi r}\), a nie \(\displaystyle{ \pi r^2}\), bo objętość takiej rury to w przybliżeniu obwód razy grubość razy wysokość:

\(\displaystyle{ \Delta V=\pi (r+\Delta r)^2H-\pi r^2H=\pi H(r^2+2r\Delta r+(\Delta r)^2-r^2)=\\\\=2\pi rH\Delta r+\pi H(\Delta r)^2=(2\pi rH+\pi H\Delta r)\Delta r\\\\
\Delta r\to 0\Rightarrow \sum(2\pi rH+\pi H\Delta r)\Delta r\to \sum 2\pi rH\Delta r\\\\}\)

[MateuszS]

czyli tak jakbyśmy po prostu tą rurę rozwinęli, byłby prostokąt, którego objętość wyraża się bok, razy bok, razy bok?

[octahedron]

Dla grubości dążącej do zera to właśnie tak wychodzi.

[kruszewski]

Chyba nie można powiedzieć, że grubość ścianki rury dąży do zera. Ścianka jest grubości \(\displaystyle{ [dr}\) a \(\displaystyle{ dr \neq 0}\) Inaczej byłaby mowa o powierzchni a nie o objętości.
W.Kr.