Funkcja tworząca

[saszaw90]

Witam,

nie rozumiem pewnych działań, jest to rozwiązanie z opracowania:

mamy \(\displaystyle{ a_0=1, a_1=5, a_2=11}\)

\(\displaystyle{ a_n=3a_{n-1}+2a_{n-2}-2a_{n-3}}\)


\(\displaystyle{ f(x)=1+5x+11x^2+3x \sum_{n=2 }^{ \infty } a_nx^n+2x^2 \sum_{ n=1 }^{ \infty } a_n x^n - 2x^3 \sum_{ n=0 }^{ \infty }a_n x^n = 1+5x+11x^2+3x \sum_{ n=0}^{ \infty } a_n x^n - 3x -15x^2 + 2x^2 \sum_{ n=0 }^{ \infty } a_n x^n - 2x^2 - 2x^3 \sum_{n=0 }^{ \infty } a_n x^n = 1+2x-6x^2+3xf(x)+2x^2f(x)-2x^3f(x)}\)

Dalej nie będę rozwijał, bo wiem jak.

Tylko nie rozumiem, dlaczego jest \(\displaystyle{ -3x}\) i \(\displaystyle{ -15x^2}\) Skąd to się wzięło?

[Qń]

\(\displaystyle{ \sum_{n=2 }^{ \infty } a_nx^n=\sum_{n=0 }^{ \infty } a_nx^n-\sum_{n=0 }^{1 } a_nx^n=f(x)-a_0-a_1x}\)

Q.

[saszaw90]

\(\displaystyle{ \sum_{n=2 }^{ \infty } a_nx^n=\sum_{n=0 }^{ \infty } a_nx^n-\sum_{n=0 }^{1 } a_nx^n=f(x)-a_0-a_1x}\)

Q.

Dziękuje bardzo.

A gdyby zaczęło się od \(\displaystyle{ a_1=5}\), \(\displaystyle{ a_2=3}\) i nie ma \(\displaystyle{ a_0}\), to wtedy: \(\displaystyle{ f(x)-a_1-a_2x}\) czy \(\displaystyle{ f(x)-0-a_1x-a_2x^2}\)?

[Qń]

Nie, napis \(\displaystyle{ f(x)-a_0-a_1x}\) przy \(\displaystyle{ a_0=0}\) to \(\displaystyle{ f(x)-a_1x}\).

Chyba, że pytasz o to co zrobić w sytuacji gdy ciąg jest zdefiniowany tylko dla indeksów dodatnich - wtedy należy sobie dodefiniować wartość \(\displaystyle{ a_0}\) zgodnie z równaniem rekurencyjnym.

Q.

[saszaw90]

Nie, napis \(\displaystyle{ f(x)-a_0-a_1x}\) przy \(\displaystyle{ a_0=0}\) to \(\displaystyle{ f(x)-a_1x}\).

Chyba, że pytasz o to co zrobić w sytuacji gdy ciąg jest zdefiniowany tylko dla indeksów dodatnich - wtedy należy sobie dodefiniować wartość \(\displaystyle{ a_0}\) zgodnie z równaniem rekurencyjnym.

Q.

Może inaczej:

\(\displaystyle{ a_1=5, a_2=3, a_n=.......}\)

\(\displaystyle{ ... + 3x \sum_{n=2 }^{ \infty } a_nx^n + ...= ...+3x \sum_{n=0 }^{ \infty } a_nx^n - 15x^2+...}\) tak?

[Qń]

A, pardą, mam dziś kłopot z czytaniem ze zrozumieniem.

Tak, o to chodzi, o ile \(\displaystyle{ a_0=0}\).

Q.

[saszaw90]

Teraz jest już jasne. Chodziło mi właśnie o \(\displaystyle{ a_0}\), że jeśli nie ma, to co wtedy. Jeśli będę miał nadal problem, to napiszę.