Przecinające się kule, całka potrójna

[Desmondo]

Obliczyć:
\(\displaystyle{ \iiint_{V}z^{2}dxdydz}\), gdzie \(\displaystyle{ V=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}+z^{2} \le R^2 \wedge x^{2}+y^{2}+z^{2} \le 2Rz\right\}}\)
Wydaje się, że najlepiej będzie tu wprowadzić współrzędne walcowe, tylko nie bardzo wiem, jak na nie przejść w tym wypadku. Kąt będzie się zmieniał od 0 do 2 pi, bo w przekrojach będziemy otrzymywać okręgi. Rozumiem, że promień r zależy od z. Jeśli skupię się tylko na górnej połowie objętości, to r będzie się zmieniać od 0 do \(\displaystyle{ z-\frac R2}\), ale jak sparametryzować współrzędną z? Od \(\displaystyle{ \frac R2}\) do R?

[Chromosom]

Najpierw wyraź oba równania we współrzędnych walcowych. Następnie porównaj je.

[Desmondo]

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2} \le R^{2}}\) będzie równoważne we współrzędnych walcowych: \(\displaystyle{ z^{2} \le R^{2}-r^{2}}\)
Drugi mój pomysł był taki, żeby sparametryzować z od \(\displaystyle{ \frac{R}{2}}\) do \(\displaystyle{ \sqrt{R^{2}-r^2}}\).
Wtedy otrzymałbym: \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2 \pi}d \phi \int\limits_{0}^{z- \frac{R}{2}}dr \int\limits_{\frac{R}{2}}^{\sqrt{R^{2}-r^{2}}} z^2 dz}\)
Tylko wtedy mam z zależne od r oraz r zależne od z...

[Chromosom]

Desmondo, wykonaj rysunek, wtedy wszystko będzie widoczne.

[Desmondo]

Rysuję, myślę, kombinuję, ale dalej nie wiem jak to wszystko ze sobą powiązać, ech...
Edit: jeszcze jeden pomysł:
Rozważam tylko górną połówkę bryły (dwie połówki rozdzielone płaszczyzną \(\displaystyle{ z= \frac{R}{2}}\) są symetryczne. Z rysunku widać, że \(\displaystyle{ \frac{R}{2} \le z \le R}\), natomiast r zmienia się od 0 do brzegu odpowiedniej kuli. W górnej połówce: \(\displaystyle{ 0 \le r \le \sqrt{R^{2} - z^{2}}}\)
Ta druga strona nierówności z przejścia na współrzędne walcowe.
Zatem połowa szukanej objętości to:\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi} d \phi \int_{ \frac{R}{2} }^{R}dz \int_{0}^{\sqrt{R^{2} - z^{2 }}}rdr}\)
Czy to jest dobrze?

[Chromosom]

Desmondo, w zadaniu nie rozważamy objętości (która byłaby całką potrójną z \(\displaystyle{ f(x,y,z)=1}\)), lecz całkę potrójną po objętości.