Sprawdzenie rozwiązania

[Sajkou]

Mam zadane równanie:

\(\displaystyle{ x'(t)+x(t)+ \int_{0}^{t} e ^{t-\tau}x(\tau) \mbox{d}\tau=1}\)
i:
\(\displaystyle{ x(0)=0}\)
Licze je z transformaty L.
Nie wiem jak potraktować te całke, intuicyjnie postanowiłem potraktować to jako:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{t} f(t-\tau)x(\tau) \mbox{d}\tau}\)
I policzyć transofmate f a więc mam:
\(\displaystyle{ f(x)=e^{x}=e^{-(-1)x}}\)
\(\displaystyle{ L[e^{-(-1)x}]= \frac{1}{s-1}}\)
Wracając do równania
\(\displaystyle{ X(s)s+X(s)+ \frac{1}{s-1}X(s) = \frac{1}{s}}\)
\(\displaystyle{ X(s)s(s-1) +(s-1)X(s)+ X(s)=\frac{s-1}{s}}\)
\(\displaystyle{ X(s)[s^{2}-s+s-1+1]=\frac{s-1}{s}}\)
\(\displaystyle{ X(s)s^{2}=\frac{s-1}{s}}\)
\(\displaystyle{ X(s)=\frac{s-1}{s^{3}}}\)
\(\displaystyle{ res _{0}X(s)e^{st}= \frac{1}{2} \lim_{s \to 0 } [ (s-1)e^{st} ]'' =\frac{1}{2} \lim_{s \to 0 } [e^{st}+t(s-1)e^{st}]' =}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \lim_{s \to 0 } te^{st} + te^{st}+t^{2}(s-1)e^{st} = \frac{1}{2} [2t-t^{2}]}\)

Więc:
\(\displaystyle{ x(t)= - \frac{t^{2}}{2} +t}\)

[BettyBoo]

Ta całka to jest splot \(\displaystyle{ e^t*x(t)}\), a więc transformata to iloczyn transformat, czyli dobrze policzyłeś. Reszta też dobrze.

Pozdrawiam.