znaleźć dokładną postać funkcji u(x,y)

[Atraktor]

Niech
\(\displaystyle{ u \left( x,y \right) =yF \left( \frac{y}{x} \right) +G \left( \frac{y}{x} \right)}\)
będzie rozwiązaniem ogólnym równania:

\(\displaystyle{ x ^{2}u_{xx}+2xyu_{xy}-y^{2}u_{yy}=0}\)

Znaleźć dokładną postać funkcji \(\displaystyle{ U \left( x,y \right)}\) dla warunków poczatkowych:
\(\displaystyle{ u \left( x,0 \right) =0 \ u_{y} \left( x,0 \right) =1}\)

No i ja rozwiązałem tutaj:

\(\displaystyle{ F \left( 0 \right) =1 \ G \left( 0 \right) =0}\)

No i co teraz czy ja mogę założyć sobie tutaj dowolną funkcję, bo takie warunki spełnia mi duża ilość funkcji np:
\(\displaystyle{ F \left( x \right) =1 \ lub \ F \left( x \right) =e^{x}}\)

Mogę wybrać obojętnie którą?

[octahedron]

Skoro nie ma jakiś dodatkowych ograniczeń, to można wybrać którąkolwiek.

[Atraktor]

jesteś pewien tej odpowiedzi? bo wydawało mi się że zagadnienie Cauchy'ego ma jednoznaczne rozwiązanie?

[octahedron]

No racja, ma jednoznaczne. Ale jak tak podstawiam to \(\displaystyle{ u(x,y)}\) do równania, to nie za bardzo wychodzi, że to jest rozwiązanie. Na pewno to jest dobrze?