1. Udowodnić, że suma dwóch zbiorów zwartych, jest zbiorem zwartym.
Może mi ktoś to krok po kroku łopatologicznie wytłumaczyć?
Dowód na zbiór zwarty
-
galadriela
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 14 gru 2008, o 02:48
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lorien
-
Tomasz Tkaczyk
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 93 razy
Dowód na zbiór zwarty
Niech \(\displaystyle{ A,B}\) zwarte.
Sprawdzimy, że \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest zwarty.
Niech \(\displaystyle{ \lbrace U_{\alpha}: \alpha < \kappa \rbrace}\) będzie rodziną zbiorów otwartych pokrywających zbiór \(\displaystyle{ A \cup B}\).
Zauważmy, że rodzina \(\displaystyle{ \lbrace U_{\alpha}: \alpha < \kappa \rbrace}\) pokrywa zbiór \(\displaystyle{ A}\) i także pokrywa zbiór \(\displaystyle{ B}\).
Skoro \(\displaystyle{ A}\) jest zwarty, to istnieje podciąg \(\displaystyle{ (\alpha_{n})_{n=0}^{k}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k< \omega}\) taki, że rodzina \(\displaystyle{ \lbrace U_{\alpha_{n}}: n < k+1 \rbrace}\) pokrywa zbiór \(\displaystyle{ A}\).
Skoro \(\displaystyle{ B}\) jest zwarty, to istnieje podciąg \(\displaystyle{ (\beta_{n})_{n=0}^{l}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ l< \omega}\) taki, że rodzina \(\displaystyle{ \lbrace U_{\beta_{n}}: n < l+1 \rbrace}\) pokrywa zbiór \(\displaystyle{ B}\).
Zauważmy, że rodzina \(\displaystyle{ \lbrace U_{\alpha_{n}}: n < k+1 \rbrace \cup \lbrace U_{\beta_{n}}: n < l+1 \rbrace}\) pokrywa zbiór \(\displaystyle{ A \cup B}\) i, że ta rodzina jest skończoną podrodziną rodziny \(\displaystyle{ \lbrace U_{\alpha}: \alpha < \kappa \rbrace}\).
Więc \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest zwarty.
Sprawdzimy, że \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest zwarty.
Niech \(\displaystyle{ \lbrace U_{\alpha}: \alpha < \kappa \rbrace}\) będzie rodziną zbiorów otwartych pokrywających zbiór \(\displaystyle{ A \cup B}\).
Zauważmy, że rodzina \(\displaystyle{ \lbrace U_{\alpha}: \alpha < \kappa \rbrace}\) pokrywa zbiór \(\displaystyle{ A}\) i także pokrywa zbiór \(\displaystyle{ B}\).
Skoro \(\displaystyle{ A}\) jest zwarty, to istnieje podciąg \(\displaystyle{ (\alpha_{n})_{n=0}^{k}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k< \omega}\) taki, że rodzina \(\displaystyle{ \lbrace U_{\alpha_{n}}: n < k+1 \rbrace}\) pokrywa zbiór \(\displaystyle{ A}\).
Skoro \(\displaystyle{ B}\) jest zwarty, to istnieje podciąg \(\displaystyle{ (\beta_{n})_{n=0}^{l}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ l< \omega}\) taki, że rodzina \(\displaystyle{ \lbrace U_{\beta_{n}}: n < l+1 \rbrace}\) pokrywa zbiór \(\displaystyle{ B}\).
Zauważmy, że rodzina \(\displaystyle{ \lbrace U_{\alpha_{n}}: n < k+1 \rbrace \cup \lbrace U_{\beta_{n}}: n < l+1 \rbrace}\) pokrywa zbiór \(\displaystyle{ A \cup B}\) i, że ta rodzina jest skończoną podrodziną rodziny \(\displaystyle{ \lbrace U_{\alpha}: \alpha < \kappa \rbrace}\).
Więc \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest zwarty.