z treścią i stożkiem

[Relosu]

Lampa ma być zawieszona nad placem w kształcie koła o promienu 10m. Intensywność oświetlenia jest wprost proporcjonalna do cosinusa kąta padania promienia na dany punkt i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu jego odległości od lampy. Na jakiej wysokości należy zawiesić lampę aby najlepiej oświetlić ścieżkę wokół placu(ścieżka=obwód tego koła).
Kompletnie nie rozkminiam tego zadania, mogl by mi to ktoś wytlumaczyc ?

[liu]

Przecież całe wytłumaczenie jest zawarte w zadaniu. Oznaczmy tę rozważaną intensywność przez \(\displaystyle{ I(h)}\) (bo ma zależeć od wysokości zawieszenia lampy). Jak być może pamiętasz z lekcji fizyki, to kąt padania (oznaczmy go \(\displaystyle{ \alpha}\)) promienia na jakąś tam płaską powierzchnię to kąt pomiędzy normalną do powierzchni przechodzącą przez punkt padania a promieniem świetlnym. Jak narysujesz sobie rysunek, to oznaczając przez \(\displaystyle{ R}\) promień placu mamy \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{h}{\sqrt{h^2 + r^2}}}\). Wiemy zatem, ze \(\displaystyle{ I(h)}\) jest proporcjonalne do tego co przed chwilą napisałem. Odwrotna proporcjonalność do kwadratu jego odległości od lampy (\(\displaystyle{ \sqrt{h^2 + r^2}}\)) to nic innego jak proporcjonalność do \(\displaystyle{ \frac{1}{(\sqrt{h^2+r^2})^2} = \frac{1}{h^2+r^2}}\). Skoro \(\displaystyle{ I(h)}\) ma być proporcjonalne do obu tych rzeczy, to z dokładnością do stałej proporcjonalności, którą możemy wziąć \(\displaystyle{ 1}\) (to tylko dobór jednostek) mamy

\(\displaystyle{ I(h) = \frac{h}{\sqrt{h^2+r^2}} \cdot \frac{1}{h^2+r^2} = \frac{h}{(h^2+r^2)^{3/2}}.}\)

Teraz wystarczy użyć odrobiny analizy i znaleźć punkt, gdzie funkcja \(\displaystyle{ I(h), h>0}\) przyjmuje wartość największą.

[Relosu]

dzieki wielkie, teraz wszystko jest jasne