Witam. Proszę o jeden tylko przykładzik. Totalnie nie wiem jak go ruszyć. Wychodzi mi wynik inny.
\(\displaystyle{ \sqrt{x+3} \ > \ 9-x}\)
Poprawna odpowiedź :
\(\displaystyle{ (6, + \infty)}\)
Nierówność kwadratowa z pierwiastkami
-
AloneAngel
- Użytkownik
- Posty: 630
- Rejestracja: 19 mar 2012, o 17:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 176 razy
Nierówność kwadratowa z pierwiastkami
\(\displaystyle{ \sqrt{x+3} \ > \ 9-x}\)
\(\displaystyle{ x + \sqrt{x+3} - 9 > 0}\)
Chciałbym sobie wprowadzić zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ x+3}\) w tym celu zapiszę to sobie jako:
\(\displaystyle{ x + 3 + \sqrt{x+3} - 12 > 0}\)
Wprowadzam sobie zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t = \sqrt{x+3}}\) Założenie: \(\displaystyle{ t > 0}\)
\(\displaystyle{ t^{2} + t - 12 > 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 1 + 48 = 49}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 7}\)
\(\displaystyle{ t _{1} = -4}\) \(\displaystyle{ t _{2} = 3}\)
Pierwsze rozwiązanie odpada, bowiem pierwiastek kwadratowy z jakiejkolwiek liczby nie może być liczbą ujemną. A wiec naszym rozwiazaniem jest \(\displaystyle{ t = 3}\)
Ale \(\displaystyle{ t = \sqrt{x+3}}\) czyli \(\displaystyle{ 3 = \sqrt{x+3}}\)
\(\displaystyle{ 9 = x + 3}\)
\(\displaystyle{ x = 6}\)
Ale skoro ma być większe od zera, funkcja nasza jest z ramionami skierowanymi w górę, to wartości dodatnie przyjmie od punktu \(\displaystyle{ 6}\) do \(\displaystyle{ \infty}\) czyli \(\displaystyle{ x \in (6; \infty )}\)
\(\displaystyle{ x + \sqrt{x+3} - 9 > 0}\)
Chciałbym sobie wprowadzić zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ x+3}\) w tym celu zapiszę to sobie jako:
\(\displaystyle{ x + 3 + \sqrt{x+3} - 12 > 0}\)
Wprowadzam sobie zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t = \sqrt{x+3}}\) Założenie: \(\displaystyle{ t > 0}\)
\(\displaystyle{ t^{2} + t - 12 > 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 1 + 48 = 49}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 7}\)
\(\displaystyle{ t _{1} = -4}\) \(\displaystyle{ t _{2} = 3}\)
Pierwsze rozwiązanie odpada, bowiem pierwiastek kwadratowy z jakiejkolwiek liczby nie może być liczbą ujemną. A wiec naszym rozwiazaniem jest \(\displaystyle{ t = 3}\)
Ale \(\displaystyle{ t = \sqrt{x+3}}\) czyli \(\displaystyle{ 3 = \sqrt{x+3}}\)
\(\displaystyle{ 9 = x + 3}\)
\(\displaystyle{ x = 6}\)
Ale skoro ma być większe od zera, funkcja nasza jest z ramionami skierowanymi w górę, to wartości dodatnie przyjmie od punktu \(\displaystyle{ 6}\) do \(\displaystyle{ \infty}\) czyli \(\displaystyle{ x \in (6; \infty )}\)