udowodnienie równania z silnią dolną
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 24 kwie 2011, o 15:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
udowodnienie równania z silnią dolną
Proszę pokazać, że dla całkowitych, nieujemnych m i n zachodzi:
\(\displaystyle{ x ^{\underline{m+n}}=x^{\underline{m}}(x-m)^{\underline{n}}=x^{\underline{n}}(x-n)^{\underline{m}}}\)
a następnie podać i udowodnić analogiczny wzór dla potęg przyrastających.
\(\displaystyle{ x ^{\underline{m+n}}=x^{\underline{m}}(x-m)^{\underline{n}}=x^{\underline{n}}(x-n)^{\underline{m}}}\)
a następnie podać i udowodnić analogiczny wzór dla potęg przyrastających.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
udowodnienie równania z silnią dolną
Zacznij od napisania z definicji ile jest równe:
\(\displaystyle{ x ^{\underline{m+n}}}\)
a potem pogrupuj czynniki. Wychodzi samo.
Q.
\(\displaystyle{ x ^{\underline{m+n}}}\)
a potem pogrupuj czynniki. Wychodzi samo.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 24 kwie 2011, o 15:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
udowodnienie równania z silnią dolną
\(\displaystyle{ x^{\underline{m}} \cdot x^{\underline{n}}=x(x-1)...(x-m+1) \cdot x(x-1)...(x-n+1)=x^{2}(x-1)^{2}...(x-m+1)(x-n+1)}\)
mogę prosić o wskazówkę jak je pogrupować?
mogę prosić o wskazówkę jak je pogrupować?
Ostatnio zmieniony 20 maja 2012, o 14:24 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
udowodnienie równania z silnią dolną
A właściwie dlaczego przekształcasz \(\displaystyle{ x^{\underline{m}} \cdot x^{\underline{n}}}\), a nie to co masz przekształcić?
Q.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 24 kwie 2011, o 15:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
udowodnienie równania z silnią dolną
\(\displaystyle{ x^{\underline{m}} \cdot x^{\underline{n}}=\frac{x!}{(x-m)!} \cdot \frac{(x-m)!}{(x-m-n)!}= \frac{x!}{(x-m-n)!} = \frac{x!}{(x-(m+n))!} = x^{\underline{m+n}}}\)
Czy dobrze zrozumiałem wskazówkę?
W takim wypadku trzecie zdanie rozwiązuję w analogiczny sposób.
Czy dobrze zrozumiałem wskazówkę?
W takim wypadku trzecie zdanie rozwiązuję w analogiczny sposób.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
udowodnienie równania z silnią dolną
Ok, to powtórzę trzeci raz:
W tym zadaniu chodzi o to, żeby przekształcić napis \(\displaystyle{ x ^{\underline{m+n}}}\). Napis \(\displaystyle{ x^{\underline{m}} \cdot x^{\underline{n}}}\) nie ma z nim nic wspólnego, więc po pierwsze nie mam pojęcia czemu się uparłeś, żeby się nim zajmować, a po drugie masz przecież wyraźnie napisane w treści zadania ile ma się równać \(\displaystyle{ x ^{\underline{m+n}}}\), więc nie mam też pojęcia, dlaczego próbujesz to doprowadzić do jakiejś innej postaci.
Proponowałbym Ci jednak zastosować się do mojej wskazówki.
Q.
W tym zadaniu chodzi o to, żeby przekształcić napis \(\displaystyle{ x ^{\underline{m+n}}}\). Napis \(\displaystyle{ x^{\underline{m}} \cdot x^{\underline{n}}}\) nie ma z nim nic wspólnego, więc po pierwsze nie mam pojęcia czemu się uparłeś, żeby się nim zajmować, a po drugie masz przecież wyraźnie napisane w treści zadania ile ma się równać \(\displaystyle{ x ^{\underline{m+n}}}\), więc nie mam też pojęcia, dlaczego próbujesz to doprowadzić do jakiejś innej postaci.
Proponowałbym Ci jednak zastosować się do mojej wskazówki.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 24 kwie 2011, o 15:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
udowodnienie równania z silnią dolną
przepraszam, wkradł mi się błąd, wyrażenie miało wyglądać tak:
\(\displaystyle{ x^{\underline{m}}(x-m)^{\underline{n}}=\frac{x!}{(x-m)!} \cdot \frac{(x-m)!}{(x-m-n)!}= \frac{x!}{(x-m-n)!} = \frac{x!}{(x-(m+n))!} = x^{\underline{m+n}}}\)
\(\displaystyle{ x^{\underline{m}}(x-m)^{\underline{n}}=\frac{x!}{(x-m)!} \cdot \frac{(x-m)!}{(x-m-n)!}= \frac{x!}{(x-m-n)!} = \frac{x!}{(x-(m+n))!} = x^{\underline{m+n}}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
udowodnienie równania z silnią dolną
Używanie silni nie jest poprawne - \(\displaystyle{ x}\) przecież nie musi być naturalne. Ale jeśli napiszesz ten rachunek bez użycia symbolu silni, to będzie poprawnie.
Q.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 24 kwie 2011, o 15:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
udowodnienie równania z silnią dolną
Jeżeli można, druga część zadania każe udowodnić te równania dla potęg przyrastających:
\(\displaystyle{ x ^{\overline{m+n}}=x^{\overline{m}}(x-m)^{\overline{n}}=x^{\overline{n}}(x-n)^{\overline{m}}}\)
Tak więc:
\(\displaystyle{ x^{\overline{m}}(x-m)^{\overline{n}}= \frac{(x+m-1)!}{(x-1)!} \cdot \frac{(x-m+n-1)!}{(x-m-1)!}}\)
Tylko czy w tym wypadku również nie powinienem pominąć silnie?
\(\displaystyle{ x ^{\overline{m+n}}=x^{\overline{m}}(x-m)^{\overline{n}}=x^{\overline{n}}(x-n)^{\overline{m}}}\)
Tak więc:
\(\displaystyle{ x^{\overline{m}}(x-m)^{\overline{n}}= \frac{(x+m-1)!}{(x-1)!} \cdot \frac{(x-m+n-1)!}{(x-m-1)!}}\)
Tylko czy w tym wypadku również nie powinienem pominąć silnie?
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
udowodnienie równania z silnią dolną
Dlaczego upierasz się przy pisaniu silni? Przecież to bez sensu - w definicji potęgi ubywającej ani przyrastającej nie pojawia się nigdzie silnia.
Q.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 24 kwie 2011, o 15:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
udowodnienie równania z silnią dolną
Bardzo przepraszam, po prostu sugerowałem się:
W takim razie wynik po wymazaniu silni jest prawidłowy?
W takim razie wynik po wymazaniu silni jest prawidłowy?
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
udowodnienie równania z silnią dolną
Silnia jako taka jest zdefiniowana wyłącznie dla liczb naturalnych, więc przy jej pomocy nie da się zdefiniować potęgi ubywającej. Wzory z podanego linka nie mają więc sensu chociażby dla \(\displaystyle{ x=\frac 12}\), bo co mielibyśmy rozumieć przez \(\displaystyle{ \frac 12 !}\)?
Definicja jest prosta:
\(\displaystyle{ x^{\underline{n}}=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k)}\)
i to z niej należy skorzystać przy przekształceniach.
Q.
Definicja jest prosta:
\(\displaystyle{ x^{\underline{n}}=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k)}\)
i to z niej należy skorzystać przy przekształceniach.
Q.