Zbiory, równoliczność

[saszaw90]

Czy istnieje/ą
a) skończony zbiór taki, że \(\displaystyle{ A \times A \sim P(A)}\)?
b) skończone niepuste zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) takie że, \(\displaystyle{ A^B \sim B^A}\)?

Ad. a

wiadomo, że iloczyn kartezjański i zbiór potęgowy to są zbiory skończone,
z twierdzenia Cantora mamy: \(\displaystyle{ A \le P(A)}\)

Przykład:
\(\displaystyle{ \mathbb R \times \mathbb R \sim P(\mathbb R)}\)

Więc istnieje...

Ad. b
tu nie wiem, raczej nie istnieją, tylko nie wiem, jaka to własność

[norwimaj]

Czy istnieje/ą
a) skończony zbiór taki, że \(\displaystyle{ A \times A \sim P(A)}\)?

Oznacz przez \(\displaystyle{ n}\) liczbę elementów szukanego zbioru. Wtedy powyższy warunek daje pewne równanie na \(\displaystyle{ n}\).

b) skończone niepuste zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) takie że, \(\displaystyle{ A^B \sim B^A}\)?

Trywialny przykład: \(\displaystyle{ A=B}\).

Przykład:
\(\displaystyle{ \mathbb R \times \mathbb R \sim P(\mathbb R)}\)

To nieprawda. Poza tym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) nie jest zbiorem skończonym.

[saszaw90]

Dziękuje. Ale nie bardzo łapię.

Oznacz przez \(\displaystyle{ n}\) liczbę elementów szukanego zbioru. Wtedy powyższy warunek daje pewne równanie na \(\displaystyle{ n}\).

np. \(\displaystyle{ n=4}\)

jest \(\displaystyle{ 4}\) elementów szukanego zbioru, no i co mam zrobić z tym równaniem?

Trywialny przykład: \(\displaystyle{ A=B}\).

Wiem, że to jest z tw.Cantora-Bernsteina:

\(\displaystyle{ A \le B}\) i \(\displaystyle{ B \le A}\) to \(\displaystyle{ A=B}\)

albo

jeśli \(\displaystyle{ A=B}\) to \(\displaystyle{ P(A)=P(B)}\)

w takim razie nie wiem, o co chodzi z tym

[norwimaj]

Ad 1.
Wszystkie możliwości to \(\displaystyle{ n=4}\) lub \(\displaystyle{ n=2}\). W takim razie wystarczy wziąć dowolny zbiór dwu lub czteroelementowy.

Ad 2.
Nie wiem o co chodzi. Ja tylko podałem prosty przykład, że takie zbiory istnieją. Wystarczy że \(\displaystyle{ A=B}\). Jeśli tu chcemy scharakteryzować wszystkie zbiory, tak jak w poprzednim punkcie, to musimy rozwiązać równanie \(\displaystyle{ m^n=n^m}\). Ja nie potrafię wskazać innych rozwiązań oprócz \(\displaystyle{ m=n}\), \(\displaystyle{ \begin{cases}m=2\\n=4\end{cases}}\), \(\displaystyle{ \begin{cases}m=4\\n=2\end{cases}}\). Ale też widzę powodu, żeby nie było innych.

[Dasio11]

Ad Ad 2. Równanie \(\displaystyle{ m^n = n^m}\) w liczbach naturalnych jest równoważne \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} = \sqrt[m]{m}.}\) Analiza funkcji \(\displaystyle{ x^{\frac{1}{x}}}\) prowadzi do wniosku, że ciąg \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}}\) jest malejący od trzeciego wyrazu, więc powtórzyć się mogą tylko dwie pierwsze wartości.

[saszaw90]

Czyli rozumiem, że istnieją takie zbiory, skończone i niepuste? Tak jak pisze Dasio11 mogą się powtórzyć tylko dwie pierwsze wartości, więc są to skończone zbiory?

[Dasio11]

To, że w ogóle istnieją takie zbiory (w obu podpunktach), wynika z postów norwimaja. Do mnie należy tylko dygresja, że jest skończenie wiele takich par (jeśli utożsamić wszystkie zbiory o tej samej mocy). Nie jest ta wiedza potrzebna do odpowiedzi na pytanie.