przeciwobraz zbioru otwartego
-
Tomasz Tkaczyk
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 93 razy
-
kocica
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 14 maja 2008, o 13:11
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kutno
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 2 razy
przeciwobraz zbioru otwartego
\(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ x_0 \in X}\), jeśli \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x_n \subset X} x_n \xrightarrow{d_x} x_0 \implies f(x_n) \xrightarrow{d_y} f(x_0)}\)
-
Tomasz Tkaczyk
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 93 razy
przeciwobraz zbioru otwartego
Mamy \(\displaystyle{ X,Y}\) metryczne.
\(\displaystyle{ ( \Leftarrow )}\)
Załóżmy, że przeciwobraz przez \(\displaystyle{ f}\) każdego zbioru otwartego w \(\displaystyle{ Y}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ X}\).
Pokażemy, że \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w każdym punkcie \(\displaystyle{ x \in X}\).
Niech \(\displaystyle{ x \in X}\) będzie dowolny.
Niech \(\displaystyle{ s>0}\) będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą.
Kula \(\displaystyle{ B(f(x),s)}\) jest zbiorem otwartym w \(\displaystyle{ Y}\), więc
\(\displaystyle{ f^{-1}(B(f(x),s))}\) jest zbiorem otwartym w \(\displaystyle{ X}\).
Weźmy dowolny ciąg w \(\displaystyle{ X}\) \(\displaystyle{ (x_{n})_{n=1}^{\infty}}\) zbieżny do \(\displaystyle{ x}\).
Z tego, że \(\displaystyle{ f^{-1}(B(f(x),s))}\) jest otwartym otoczeniem \(\displaystyle{ x}\) wynika, że
\(\displaystyle{ (\exists N)(\forall n>N)(x_{n} \in f^{-1}(B(f(x),s)))}\). Zatem
\(\displaystyle{ (\exists N)(\forall n>N)(f(x_{n}) \in (B(f(x),s))}\).
\(\displaystyle{ s}\) była dowolną liczbą większą od \(\displaystyle{ 0}\), więc \(\displaystyle{ (f(x_{n}))_{n=1}^{\infty}}\) zbiega do \(\displaystyle{ f(x)}\).
\(\displaystyle{ x}\) był dowolnym punktem \(\displaystyle{ X}\), więc \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w dowolnym punkcie \(\displaystyle{ X}\), więc \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła.
\(\displaystyle{ ( \Rightarrow )}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła i przypuśćmy nie wprost, że
istnieje taki zbiór otwarty \(\displaystyle{ U}\) w \(\displaystyle{ Y}\), którego przeciwobraz przez \(\displaystyle{ f}\) nie jest otwarty w \(\displaystyle{ X}\).
\(\displaystyle{ U}\) jest sumą kul, zatem przeciwobraz którejś kuli w tej sumie przez funkcję \(\displaystyle{ f}\) nie jest otwarty.
Niech \(\displaystyle{ B(y, s)}\) będzie tą kulą dla pewnego \(\displaystyle{ y \in Y, s>0}\).
Zatem \(\displaystyle{ V := f^{-1}(B(y, s))}\) nie jest otwarty, a oznacza to, że
\(\displaystyle{ \exists z \in V-Int(V)}\).
A więc dla każdego otoczenia otwartego \(\displaystyle{ W}\) punktu \(\displaystyle{ z}\) \(\displaystyle{ W \cap X-V \neq \emptyset}\).
Zatem istnieje taki ciąg \(\displaystyle{ (z_{n})_{n=1}^{\infty} \subseteq X-V}\) zbieżny do \(\displaystyle{ z}\).
Z tego, że \(\displaystyle{ B(y, s)}\) jest otwarty i \(\displaystyle{ f(z) \in B(y,s)}\)
istnieje takie \(\displaystyle{ r>0}\), że \(\displaystyle{ B(f(z),r) \subseteq B(y,s)}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ (\neg \exists n)(f(z_{n}) \in B(f(z),r))}\). Tak więc
ciąg \(\displaystyle{ (f(z_{n}))_{n=1}^{\infty}}\) nie jest zbieżny do \(\displaystyle{ f(z)}\).
Więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest ciągła w \(\displaystyle{ z}\). Sprzeczność.
\(\displaystyle{ ( \Leftarrow )}\)
Załóżmy, że przeciwobraz przez \(\displaystyle{ f}\) każdego zbioru otwartego w \(\displaystyle{ Y}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ X}\).
Pokażemy, że \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w każdym punkcie \(\displaystyle{ x \in X}\).
Niech \(\displaystyle{ x \in X}\) będzie dowolny.
Niech \(\displaystyle{ s>0}\) będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą.
Kula \(\displaystyle{ B(f(x),s)}\) jest zbiorem otwartym w \(\displaystyle{ Y}\), więc
\(\displaystyle{ f^{-1}(B(f(x),s))}\) jest zbiorem otwartym w \(\displaystyle{ X}\).
Weźmy dowolny ciąg w \(\displaystyle{ X}\) \(\displaystyle{ (x_{n})_{n=1}^{\infty}}\) zbieżny do \(\displaystyle{ x}\).
Z tego, że \(\displaystyle{ f^{-1}(B(f(x),s))}\) jest otwartym otoczeniem \(\displaystyle{ x}\) wynika, że
\(\displaystyle{ (\exists N)(\forall n>N)(x_{n} \in f^{-1}(B(f(x),s)))}\). Zatem
\(\displaystyle{ (\exists N)(\forall n>N)(f(x_{n}) \in (B(f(x),s))}\).
\(\displaystyle{ s}\) była dowolną liczbą większą od \(\displaystyle{ 0}\), więc \(\displaystyle{ (f(x_{n}))_{n=1}^{\infty}}\) zbiega do \(\displaystyle{ f(x)}\).
\(\displaystyle{ x}\) był dowolnym punktem \(\displaystyle{ X}\), więc \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w dowolnym punkcie \(\displaystyle{ X}\), więc \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła.
\(\displaystyle{ ( \Rightarrow )}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła i przypuśćmy nie wprost, że
istnieje taki zbiór otwarty \(\displaystyle{ U}\) w \(\displaystyle{ Y}\), którego przeciwobraz przez \(\displaystyle{ f}\) nie jest otwarty w \(\displaystyle{ X}\).
\(\displaystyle{ U}\) jest sumą kul, zatem przeciwobraz którejś kuli w tej sumie przez funkcję \(\displaystyle{ f}\) nie jest otwarty.
Niech \(\displaystyle{ B(y, s)}\) będzie tą kulą dla pewnego \(\displaystyle{ y \in Y, s>0}\).
Zatem \(\displaystyle{ V := f^{-1}(B(y, s))}\) nie jest otwarty, a oznacza to, że
\(\displaystyle{ \exists z \in V-Int(V)}\).
A więc dla każdego otoczenia otwartego \(\displaystyle{ W}\) punktu \(\displaystyle{ z}\) \(\displaystyle{ W \cap X-V \neq \emptyset}\).
Zatem istnieje taki ciąg \(\displaystyle{ (z_{n})_{n=1}^{\infty} \subseteq X-V}\) zbieżny do \(\displaystyle{ z}\).
Z tego, że \(\displaystyle{ B(y, s)}\) jest otwarty i \(\displaystyle{ f(z) \in B(y,s)}\)
istnieje takie \(\displaystyle{ r>0}\), że \(\displaystyle{ B(f(z),r) \subseteq B(y,s)}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ (\neg \exists n)(f(z_{n}) \in B(f(z),r))}\). Tak więc
ciąg \(\displaystyle{ (f(z_{n}))_{n=1}^{\infty}}\) nie jest zbieżny do \(\displaystyle{ f(z)}\).
Więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest ciągła w \(\displaystyle{ z}\). Sprzeczność.