Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie zespolonej

zewlak · Post autor: **zewlak** » 22 cze 2009, o 23:26

Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie zespolonej.

\(\displaystyle{ z ^{3} - \overline{z} ^{3} \in R}\)

Moja próba rozwiązania:

Rozpisujemy na \(\displaystyle{ z=x+iy}\), podnosimy do trzeciej, skracamy i porównujemy część urojoną do zera?

Jeśli tak, to wychodzi coś co prawda, ale troche to zagmatwane na płaszczyźnie. Jest ok?

\(\displaystyle{ y=0,
x \in R}\)
lub
\(\displaystyle{ y=-\sqrt{3} \cdot x \vee y=\sqrt{3} \cdot x}\)

Rozwiązaniem były by 2 proste przecinające się w zerze + oś Y.

\(\displaystyle{ |z + 1|-Im(z) \le 1}\)

Tego to już w ogóle nie wiem. Rozpisywałem na wszystkie sposoby i nie wiem. Chyba brakuje mi jakiegoś sposobu na to.

Przeszukałem sieć, ale znalazłem tylko to. 110890.htm Jednak jak się przyjrzeć to lepiej się na tym nie wzorować

Z góry dzięki.

Post autor: **Calasilyar** » 23 cze 2009, o 02:54

1.

zewlak pisze:ale troche to zagmatwane na płaszczyźnie

Możesz ewentualnie na wektorach pokombinować, z tego co widzę, powinno jakoś wyjść jeżeli masz wyobraźnię 3D ;] . A odnośnie podstawiania to jeżeli ładnie i w uporządkowany sposób podstawisz to wyjdzie bardzo prosto i szybko się skróci.

2.

zewlak pisze:Tego to już w ogóle nie wiem.

nie wydaje mi się, żeby równanie typu:
\(\displaystyle{ (a+1)+bj \le (1 + b)^{2}}\)
było czymś masakrycznym do rozwiązania nawet przy niewielkich umiejętnościach obliczeniowych

frej · Post autor: **frej** » 23 cze 2009, o 10:46

Można też skorzystać z postaci trygonometrycznej

\(\displaystyle{ z=r(cos x + i sin x )}\)
\(\displaystyle{ \overline{z}=r(cos (-x)+isin (-x)}\)

\(\displaystyle{ z^3-(\overline{z})^3=r^3(cos 3x-cos(-3x)+i(sin 3x-sin(-3x))=2r^3 i sin3x}\)
bo sinus jest nieparzysty, a cosinus parzysty.

zewlak · Post autor: **zewlak** » 23 cze 2009, o 11:21

frej pisze:Można też skorzystać z postaci trygonometrycznej

\(\displaystyle{ z=r(cos x + i sin x )}\)
\(\displaystyle{ \overline{z}=r(cos (-x)+isin (-x)}\)

\(\displaystyle{ z^3-(\overline{z})^3=r^3(cos 3x-cos(-3x)+i(sin 3x-sin(-3x))=2r^3 i sin3x}\)
bo sinus jest nieparzysty, a cosinus parzysty.

Można, tylko troche ciężko zaznaczyć taką postać na płaszczyźnie

Bo kiedy \(\displaystyle{ 2r^3 i sin3x}\) będzie rzeczywiste? Jeśli sin=0, lub r=0 ? Na górze wyszło jakoś inaczej.

frej · Post autor: **frej** » 23 cze 2009, o 11:38

Raczej nieciężko. \(\displaystyle{ r=0}\) to każdy umie

A kiedy \(\displaystyle{ sin 3\alpha =0}\)

Chyba się nigdzie nie pomyliłem...Może niech ktoś inny jeszcze to sprawdzi...

zewlak · Post autor: **zewlak** » 23 cze 2009, o 12:21

No r=0 to x=0 i y=0.

A sin3x=0 to k * pi/3 .

Ale nijak ma się to do mojego rozwiązania z góry. Tam wyszło coś zupełnie innego.

frej · Post autor: **frej** » 23 cze 2009, o 14:32

Przykro mi, ale to Ty zrobiłeś błąd.

\(\displaystyle{ z^3=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)}\)
\(\displaystyle{ (\overline{z})^3=x^3-3xy^2+i(y^3-3x^2y)}\)

Tak poza tym, liczby zespolone to nie tylko \(\displaystyle{ x+iy}\) są jeszcze inne własności. Np. takie:

\(\displaystyle{ z^3-(\overline{z})^3=z^3-\overline{z^3}}\)
\(\displaystyle{ x-\overline{x}=2\Im(x)}\)

Można też liczbę zespoloną interpretować geometrycznie. Sprzężenie to nic innego jak symetria liczby względem osi \(\displaystyle{ OX}\). Czasami warto tak sobie to wyobrażać, łatwiej sprawdzić, czy nie pomyliło się w obliczeniach, jak wiadomo, co ma wyjść.

zewlak · Post autor: **zewlak** » 23 cze 2009, o 18:01

frej pisze:Przykro mi, ale to Ty zrobiłeś błąd.

\(\displaystyle{ z^3=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)}\)
\(\displaystyle{ (\overline{z})^3=x^3-3xy^2+i(y^3-3x^2y)}\)

Tak poza tym, liczby zespolone to nie tylko \(\displaystyle{ x+iy}\) są jeszcze inne własności. Np. takie:

Można też liczbę zespoloną interpretować geometrycznie. Sprzężenie to nic innego jak symetria liczby względem osi \(\displaystyle{ OX}\). Czasami warto tak sobie to wyobrażać, łatwiej sprawdzić, czy nie pomyliło się w obliczeniach, jak wiadomo, co ma wyjść.

Mi przecież wyszło to samo.

\(\displaystyle{ z^3=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)}\)
\(\displaystyle{ (\overline{z})^3=x^3-3xy^2+i(y^3-3x^2y)}\)

teraz odejmując od siebie części urojone i porównując je z zerem dostajemy:

\(\displaystyle{ (3x^2y-y^3)-(y^3-3x^2y)=0}\)
\(\displaystyle{ 6x^2y=2y^3}\)
\(\displaystyle{ 3x^2=y^2}\)

Pierwiastkujemy i dostajemy wynik, który nie pokrywa się nijak z wersją trygonometryczną.

No chyba, że znów coś przegapiłem?

frej · Post autor: **frej** » 23 cze 2009, o 20:27

Ale ja jestem durny

Wyniki są takie same.

Przepraszam, że powiedziałem, że zrobiłeś źle. Masz dobrze, tylko prawie dobrze

Najpierw wersja trygonometryczna:

\(\displaystyle{ sin 3\alpha =0}\)
\(\displaystyle{ 3\alpha=k\pi}\)
\(\displaystyle{ \alpha = k \frac{\pi}{3}}\)

Czyli rozwiązaniem są trzy proste nachylone do osi \(\displaystyle{ OX}\) pod kątem \(\displaystyle{ 0^\circ , 60^\circ , 120^\circ}\)

Teraz rozwiązanie \(\displaystyle{ x+iy}\). Oczywiście dochodzimy do postaci
\(\displaystyle{ 3x^2 y=y^3}\)
\(\displaystyle{ y(\sqrt{3} x -y)(\sqrt{3}x + y)=0}\)

i wychodzi na to samo

Przez liczenie te bardziej "toporne" moim zdaniem uszło naszej uwadze rozwiązanie \(\displaystyle{ z\in \mathbb{R}}\), na szczęście w porę sobie o tym przypomnieliśmy

Elvis · Post autor: **Elvis** » 24 cze 2009, o 18:25

Wybaczcie, że się mieszam, ale skoro napisałeś już, że \(\displaystyle{ z^3 - \overline{z^3}=2i \cdot \Im(z^3)}\), a skądinąd wiemy, że \(\displaystyle{ z^3 - \overline{z^3} \in R}\), to \(\displaystyle{ z^3 \in R}\). Stąd już widać, gdzie są rozwiązania.