Witam mam do rozwiązania następujące zadanie:
Mam rozwiązać równanie difoantyczne (wszystkie rozwiązania) takiego przykładu:
\(\displaystyle{ x \cdot 89+y \cdot 52 = NWD (89,52)}\)
Doszedłem do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ 89 = 1 \cdot 52+37}\)
\(\displaystyle{ 52 = 1 \cdot 37+15}\)
\(\displaystyle{ 37 = 2 \cdot 15+7}\)
\(\displaystyle{ 15 = 2 \cdot 7+1}\)
\(\displaystyle{ 7 = 7 \cdot 1+0}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ NWD (89,52) = 1}\)
\(\displaystyle{ 1= 15-2 \cdot 7}\)
\(\displaystyle{ 7= 37-2 \cdot 15 \cdot 7}\)
\(\displaystyle{ 15= 52-1 \cdot 37 \cdot 7}\)
\(\displaystyle{ 37= 89-1 \cdot 52 \cdot 7}\)
\(\displaystyle{ 1= 15-2 \cdot 7= 15-2 (37-2 \cdot 15)= -2 \cdot 37+5 \cdot 15= -2 \cdot 37+ 5(52-37)= -7 \cdot 37 + 5 \cdot 52= -7(89-52)+5 \cdot 52= -7 \cdot 89+12 \cdot 52}\)
\(\displaystyle{ NWD (89,52)=1=12 \cdot 52-7 \cdot 89}\)
Dalej nie mam pojęcia co robić. Bardzo proszę o pomoc.
Równania Diofantyczne.
-
Eatos
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 4 gru 2011, o 14:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
Równania Diofantyczne.
Witam kolegów z WPPT ><'
\(\displaystyle{ x \cdot 89+y \cdot 52 = NWD (89,52)}\)
Wyszło jedno z rozwiązań: \(\displaystyle{ \left( x_{0},y_{0}\right) \:=\:\left( -7,12\right)}\)
Zbiorem rozwiązań będzie tutaj:
\(\displaystyle{ K=\left \{ \left ( x,y \right ):\: x=x_{0}+52k\; \wedge \;y=y_{0}-89k\:\wedge k\in \mathbb{Z} \right \}}\)
lub, jak kto woli:
\(\displaystyle{ K=\left \{ \left ( x,y \right ):\: x=x_{0}-52k\; \wedge \;y=y_{0}+89k\:\wedge k\in \mathbb{Z} \right \}}\)
\(\displaystyle{ \left (x_{0}+52k \right )\cdot89+\left ( y_{0}-89k \right) \cdot52=89x_{0}+4628k+52y_{0}-4628k=x \cdot 89+y \cdot 52 = NWD (89,52)}\)
\(\displaystyle{ x \cdot 89+y \cdot 52 = NWD (89,52)}\)
Wyszło jedno z rozwiązań: \(\displaystyle{ \left( x_{0},y_{0}\right) \:=\:\left( -7,12\right)}\)
Zbiorem rozwiązań będzie tutaj:
\(\displaystyle{ K=\left \{ \left ( x,y \right ):\: x=x_{0}+52k\; \wedge \;y=y_{0}-89k\:\wedge k\in \mathbb{Z} \right \}}\)
lub, jak kto woli:
\(\displaystyle{ K=\left \{ \left ( x,y \right ):\: x=x_{0}-52k\; \wedge \;y=y_{0}+89k\:\wedge k\in \mathbb{Z} \right \}}\)
\(\displaystyle{ \left (x_{0}+52k \right )\cdot89+\left ( y_{0}-89k \right) \cdot52=89x_{0}+4628k+52y_{0}-4628k=x \cdot 89+y \cdot 52 = NWD (89,52)}\)