Rozwinąć funkcje w szereg Fouriera cosinusów

[Daystate]

Mam problem z zadaniem:

Rozwinąć funkcje \(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 1 \hbox{ dla } 0\le x \le 1\\0 \hbox{ dla } 1< x \le \pi\end{cases}}\) w szereg Fouriera cosinusów.
Na podstawie otrzymanego rozwinięcia obliczyć sumę szeregu liczbowego \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{sinn}{n}}\).

Chyba nie do końca rozumiem polecenie. Próbowałem rozwiązać to zadanie obliczając współczynniki \(\displaystyle{ a_{0}, a_{n}, b_{n}}\) i wstawiając po prostu do wzoru, ale otrzymany szereg nie dość, że wygląda zbyt skomplikowanie to na dodatek ma sobie sinusy... w każdym razie nie wygląda to dobrze.

Notatki z wykładów i ćwiczeń na nic się zdały. Mały research w internecie również niewiele pomógł. Niestety, za mało tego typu zadań było przerabianych na ćwiczeniach. Liczę na pomoc tutaj.

[miodzio1988]

Pokaż jak liczysz

[Daystate]

\(\displaystyle{ a_{0} = \frac{2}{ \pi } \left( \int_{0}^{1} 1dx + \int_{1}^{ \pi } 0dx \right) = \frac{2}{ \pi } \cdot 1 = \frac{2}{ \pi }}\)

\(\displaystyle{ a_{n} =
\frac{2}{ \pi } \left( \int_{0}^{1} 1 \cdot cos( \frac{n \pi x}{ \frac{ \pi }{2} } ) dx + \underbrace{\int_{1}^{ \pi } 0 \cdot cos( \frac{n \pi x}{ \frac{ \pi }{2} } ) dx}_{=0} \right) =
\frac{2}{ \pi } \left( \int_{0}^{1} cos\left( 2nx\right) dx \right) =
\frac{2}{ \pi } \left( \left( \frac{1}{2n} sin\left( 2n \cdot 1 \right) \right) - \left( \frac{1}{2n} sin\left( 2n \cdot 0 \right) \right)\right) =
\frac{1}{n\pi} sin\left( 2n \right) =
\frac{sin\left( 2n \right)}{n\pi}}\)

\(\displaystyle{ b_{n} =
\frac{2}{ \pi } \left( \int_{0}^{1} 1 \cdot sin( \frac{n \pi x}{ \frac{ \pi }{2} } ) dx + \underbrace{\int_{1}^{ \pi } 0 \cdot sin( \frac{n \pi x}{ \frac{ \pi }{2} } ) dx}_{=0} \right) =
\frac{2}{ \pi } \left( \int_{0}^{1} sin\left( 2nx\right) dx \right) = \frac{2}{ \pi } \left( - \frac{1}{2n} cos\left( 2n \cdot 1 \right) - \left( - \frac{1}{2n} \underbrace{cos\left( 2n \cdot 0 \right)}_{=1}\right) \right) =
\frac{2}{ \pi } \left( - \frac{1}{2n} cos(2n) + \frac{1}{2n} \right) \right) = \frac{1}{n \pi } \left( 1-cos\left( 2n\right) \right)}\)

\(\displaystyle{ f(x) \sim \frac{2}{ \pi } + \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{sin\left( 2n \right)}{n\pi} \cdot cos\left( \frac{n \pi x}{ \frac{2}{ \pi } } \right) - \frac{\left( 1-cos\left( 2n\right) \right)}{n \pi } \cdot sin\left( \frac{n \pi x}{ \frac{2}{ \pi } } \right) = etc...}\)

Czy to ma sens?

[miodzio1988]

No nie. Po to masz napisane, że w szereg cosinusów, żeby funkcję sobie tak przekształcić, aby niektóre wspolczynniki Ci sie zerowaly. czyli jak musimy przedluzyc funkcje?

[Daystate]

W zależności od tego czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta, zerują się konkretne współczynniki. Tutaj musimy tak poprzekształcać daną funkcję, aby uzyskać funkcję parzystą (wtedy \(\displaystyle{ b_{n} = 0}\)).

Tak?

[Oks]

Tak