Nierówność z twierdzenia Lagrange'a

[ki226]

Korzystając z tw. L. udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ e^{x}>x+1}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\)
z góry dziekjję

[kriegor]

rozwazamy \(\displaystyle{ f(x)=e^x-x-1}\) a cel to ze dla \(\displaystyle{ x\in(0; +\infty)}\) mamy \(\displaystyle{ f(x)>0}\)
z tw lagrange'a:

\(\displaystyle{ \forall_{x\in(0;+\infty)}\exists_{c\in(0;x)}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(c)}\)

to nam daje \(\displaystyle{ \frac{e^x-x-1-(1-0-1)}{x}=\frac{f(x)}{x}=e^c-c \Rightarrow f(x)=x(e^c-c)}\)

no to pierwszy czynnik iloczynu jest dodatni i drugi tez wiec wyszlo nam że dla każdego iksa jest \(\displaystyle{ f(x)>0}\) a tego chcielismy

teza jest oczywista wiec zakladam ze to ze \(\displaystyle{ e^c-c>0}\) tez trzeba udowodnic no to mozemy znowu z lagrange'a

\(\displaystyle{ g(x)=e^x-x}\)
\(\displaystyle{ \forall_{x\in(0;+\infty)}\exists_{c\in(0;x)}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=g'(c)}\)

\(\displaystyle{ \frac{e^x-x-1}{x}=e^c-1 \Rightarrow g(x)=x(e^c-1)+1}\) no i to ze to jest dodatnie to juz jest napewno oczywiste

chyba o to chodzilo..

[janusz47]

Niech \(\displaystyle{ \phi(x) =e^{x}, \psi(x) = 1+x,}\)
\(\displaystyle{ \phi(0) = \psi(0) = 1}\)
\(\displaystyle{ \left[ \phi'(x) = e^{x} > \psi'(x) =1 \right] \rightarrow \left[ \phi(x) > \psi(x)\right].}\)

[ki226]

wlasnie o to chodzilo. dziekuje

[kriegor]

a gdzie tutaj jest uzyty lagrange??

[Dasio11]

Z twierdzenia Lagrange'a korzysta się przy dowodzeniu faktu, którego użył janusz47: jeśli \(\displaystyle{ (\phi - \psi)' > 0}\) na przedziale, to funkcja \(\displaystyle{ \phi-\psi}\) jest na nim rosnąca, więc

\(\displaystyle{ \phi(x) - \psi(x) > \phi(0) - \psi(0).}\)

Ale początkowego problemu klasyczne rozwiązanie korzystające wprost z twierdzenia Lagrange'a wygląda ciut inaczej:

Niech \(\displaystyle{ f(x)=e^x}\) i ustalmy \(\displaystyle{ x>1.}\) Na mocy twierdzenia Lagrange'a istnieje takie \(\displaystyle{ c \in (0, x),}\) że

\(\displaystyle{ f'(c) = \frac{e^x-1}{x-0},}\)

ale \(\displaystyle{ f'(c)=e^c>1,}\) więc

\(\displaystyle{ \frac{e^x-1}{x}>1,}\)

tzn.

\(\displaystyle{ e^x>x+1.}\)

[kriegor]

Dasio11, ok teraz widze dzieki
ale w moim rozumowaniu jest jakis blad?? czy jest po prostu brzydkie rozwiazanie?? czy poprawne ?