Ekstremum lokalne fukcji trygonometrycznej

[Optimum]

Mam takie zadanie\(\displaystyle{ f\left( x,y\right) =\sin x+\sin y+\sin \left( x+y\right)}\) , wyznacz ekstrema
Zacząlęm od wyliczenia pochodnych cząstkowych względem \(\displaystyle{ X}\) otrzymałem:
\(\displaystyle{ 2\cos \frac{2x+y}{2}cos \frac{-y}{2}}\), a względem \(\displaystyle{ Y \ \ 2\cos \frac{2y+x}{2}\cos \frac{-x}{2}}\). Teraz próbuję rozwiązać układ równań, ale mam z tym problem, bo rozbijam przykladowo pochodna wzgledem \(\displaystyle{ X}\) na \(\displaystyle{ 2\cos \frac{x+y}{2}=0}\) i \(\displaystyle{ \cos \frac{-y}{2}=0}\)

[aalmond]

Dlaczego tak komplikujesz?
\(\displaystyle{ \begin{cases} f_{x} = cos(x) + cos(x+y) = 0 \\ f_{y} = cos(y) + cos(x+y) = 0\end{cases}}\)

[Optimum]

A co z tym zrobić?

[aalmond]

To jest układ równań, który trzeba rozwiązać, żeby otrzymać punkty stacjonarne. Znasz algorytm wyznaczania ekstremów?
Po rozwiązaniu tego układu otrzymasz dwie pary:
\(\displaystyle{ \begin{cases} cos(x _{1}) = -1 \\ cos(y _{1}) = -1 \end{cases} \begin{cases} cos(x _{2}) = 0.5 \\ cos(y _{2}) = 0.5 \end{cases}}\)
wyznaczasz \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) potem liczysz drugie pochodne, wyznacznik itd.

[marcinek16marcin]

Jak rozwiązać układ równań z drugiego posta?

[MarkoseK]

Funkcja jest gładka, więc po zróżniczkowaniu ma ciągłą pochodną, zatem pochodne cząstkowe muszą być równe.