[Analiza] Czy istnieje pewien ciąg

[Citizen]

Zadanko z Wrocławskiego konkursu Continuum.

Czy istnieje ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) taki, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\) mamy \(\displaystyle{ a_{n} \in \left\{ -1,1\right\}}\) oraz zachodzi równość \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n} \frac{1}{n}=0}\)
Jeśli taki ciąg istnieje podaj jego konstrukcję, jeśli nie - uzasadnij dlaczego.

[Swistak]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a_1=1 \\ a_{k+1}=-sgn(\sum_{n=1}^{ k } a_{n} \frac{1}{n})}\)
No i jeszcze jakby jakiś prefiks przypadkiem wyszedł zerowy (choć nie wydaje mi się, aby to było możliwe, ale nie trzeba się w to tu wgłębiać), to można dać cokolwiek.