Witam,
byłby w stanie ktoś mi pomóc z poniższą całką:
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} e^{\frac{-1}{1-x^2}} dx}\)
proszę o pomoc
Całka z liczbą e
Całka z liczbą e
Ostatnio zmieniony 13 maja 2012, o 12:31 przez MichalPWr, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Źle zapisany znak całki.
Powód: Poprawa wiadomości. Źle zapisany znak całki.
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2395
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Całka z liczbą e
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} e^{\frac{-1}{1-x^2}}\mbox{d}x=\sqrt{\pi }\, G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\begin{array}{c} \frac{3}{2} \\ 0,1\end{array}\bigg|\,1\right)\approx 0.443994}\)
Jeśli to konieczne, mogę pokazać, jak do tego dojść.
Opiszmy parametrycznie funkcję \(\displaystyle{ y=e^{\frac{-1}{1-x^2}}}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\) - funkcja jest parzysta, a więc można wyliczyć tylko całkę z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\). Niech: \(\displaystyle{ y(t)=e^t}\), wtedy należy znaleźć \(\displaystyle{ x(t)}\):
\(\displaystyle{ t=\frac{-1}{1-x^2} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{t+1}}{\sqrt{t}}}\)
Stąd \(\displaystyle{ x(t)=\frac{\sqrt{t+1}}{\sqrt{t}}}\).
Skoro \(\displaystyle{ x(t)=0 \Rightarrow t=-1}\) oraz \(\displaystyle{ x(t)=1 \Rightarrow t\to -\infty}\), to nasza całka ma postać:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} e^{\frac{-1}{1-x^2}}\mbox{d}x=\int_{-1}^{-\infty}x'(t) y(t) \mbox{d}t}\)
Po przekształceniach otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{-\infty}x'(t) y(t) \mbox{d}t=\int_{-1}^{-\infty}-\frac{e^t}{2 t^{3/2} \sqrt{t+1}}\mbox{d}t}\)
Wprowadzając zmienną \(\displaystyle{ u=-t}\):
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} e^{\frac{-1}{1-x^2}}\mbox{d}x=\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-u}}{2u^{3/2} \sqrt{1-u} }\mbox{d}u}\)
Teraz należy skorzystać z tego, że:
\(\displaystyle{ e^{-u} = G_{0,1}^{\,1,0} \!\left( \left. \begin{matrix} - \\ 0 \end{matrix} \; \right| \, u \right)}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \int_1^\infty u^{-\alpha} \; (u-1)^{\alpha - \beta - 1} \; G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, z u \right) dx = \Gamma (\alpha - \beta) \; G_{p+1 ,\, q+1}^{\,m+1 ,\, n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p}, \alpha \\ \beta, \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, z \right).}\)
W razie niejasności odsyłam tu: . Nietrudno zauważyć, że nasza funkcja ma postać:
\(\displaystyle{ \frac{e^{-u}}{2u^{3/2} \sqrt{1-u} }=\frac{1}{2} u^{-\alpha} (u-1)^{\alpha-\beta-1} G_{0,1}^{\,1,0} \!\left( \left. \begin{matrix} - \\ 0 \end{matrix} \; \right| \, u \right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha=\frac{3}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \beta = 1}\).
Podstawiając do wzoru (\(\displaystyle{ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}}\)) otrzymujemy żądany wynik \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{\pi}}{2} G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\begin{array}{c} \frac{3}{2} \\ 0,1\end{array}\bigg|\,1\right)}\). Teraz z racji parzystości funkcji podcałkowej wynik należy przemnożyć przez \(\displaystyle{ 2}\).
Jeśli to konieczne, mogę pokazać, jak do tego dojść.
Opiszmy parametrycznie funkcję \(\displaystyle{ y=e^{\frac{-1}{1-x^2}}}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\) - funkcja jest parzysta, a więc można wyliczyć tylko całkę z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\). Niech: \(\displaystyle{ y(t)=e^t}\), wtedy należy znaleźć \(\displaystyle{ x(t)}\):
\(\displaystyle{ t=\frac{-1}{1-x^2} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{t+1}}{\sqrt{t}}}\)
Stąd \(\displaystyle{ x(t)=\frac{\sqrt{t+1}}{\sqrt{t}}}\).
Skoro \(\displaystyle{ x(t)=0 \Rightarrow t=-1}\) oraz \(\displaystyle{ x(t)=1 \Rightarrow t\to -\infty}\), to nasza całka ma postać:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} e^{\frac{-1}{1-x^2}}\mbox{d}x=\int_{-1}^{-\infty}x'(t) y(t) \mbox{d}t}\)
Po przekształceniach otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{-\infty}x'(t) y(t) \mbox{d}t=\int_{-1}^{-\infty}-\frac{e^t}{2 t^{3/2} \sqrt{t+1}}\mbox{d}t}\)
Wprowadzając zmienną \(\displaystyle{ u=-t}\):
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} e^{\frac{-1}{1-x^2}}\mbox{d}x=\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-u}}{2u^{3/2} \sqrt{1-u} }\mbox{d}u}\)
Teraz należy skorzystać z tego, że:
\(\displaystyle{ e^{-u} = G_{0,1}^{\,1,0} \!\left( \left. \begin{matrix} - \\ 0 \end{matrix} \; \right| \, u \right)}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \int_1^\infty u^{-\alpha} \; (u-1)^{\alpha - \beta - 1} \; G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, z u \right) dx = \Gamma (\alpha - \beta) \; G_{p+1 ,\, q+1}^{\,m+1 ,\, n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p}, \alpha \\ \beta, \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, z \right).}\)
W razie niejasności odsyłam tu: . Nietrudno zauważyć, że nasza funkcja ma postać:
\(\displaystyle{ \frac{e^{-u}}{2u^{3/2} \sqrt{1-u} }=\frac{1}{2} u^{-\alpha} (u-1)^{\alpha-\beta-1} G_{0,1}^{\,1,0} \!\left( \left. \begin{matrix} - \\ 0 \end{matrix} \; \right| \, u \right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha=\frac{3}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \beta = 1}\).
Podstawiając do wzoru (\(\displaystyle{ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}}\)) otrzymujemy żądany wynik \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{\pi}}{2} G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\begin{array}{c} \frac{3}{2} \\ 0,1\end{array}\bigg|\,1\right)}\). Teraz z racji parzystości funkcji podcałkowej wynik należy przemnożyć przez \(\displaystyle{ 2}\).