Równoliczność zbiorów

[saszaw90]

Witam,

chciałbym, żeby ktoś sprawdził, czy dobrze wykazałem równoliczność.

Pokazać to za pomocą tw. Cantora-Bernsteina, więc spróbowałem, ale nie jestem pewny.

a) \(\displaystyle{ \aleph_{0}^{\aleph_{0}} \sim \mathfrak{c}}\)

\(\displaystyle{ \aleph_{0}^{\aleph_{0}} \sim \mathbb N^{\mathbb N} \le \left(2^{\mathbb N} \right)^{\mathbb N} \sim 2^{\mathbb N \cdot \mathbb N} \sim 2^{\mathbb N} \sim 2^{\aleph_{0}} \sim \mathfrak{c}}\)

b) \(\displaystyle{ \mathbb N \sim \mathbb Z}\)

właśnie tu mam problem, bo jest zbiór liczb całkowitych

\(\displaystyle{ \mathbb N \le 2^{\mathbb N} \sim 2^{\mathbb Z} \sim ....}\) dalej nie wiem, prosiłbym o wskazówkę.

[Spektralny]

a) jest OK (oszacuj tylko z dołu \(\displaystyle{ 2^{\aleph_0}\leqslant \aleph_0^{\aleph_0}}\))

b) znajdź funkcję różnowartościową \(\displaystyle{ \mathbb{Z}\to \mathbb{N}}\).

Branie potęg Cię zaprowadzi donikąd, bo jest niesprzeczne z ZFC, że

\(\displaystyle{ 2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_1}}\).

[saszaw90]

a) jest OK (oszacuj tylko z dołu \(\displaystyle{ 2^{\aleph_0}\leqslant \aleph_0^{\aleph_0}}\))

Chodziło o to?
\(\displaystyle{ 2^{\aleph_0}\leqslant \aleph_{0}^{\aleph_{0}} \sim \mathbb N^{\mathbb N} \le \left( 2^{\mathbb N} \right)^{\mathbb N} \sim 2^{\mathbb N \cdot \mathbb N} \sim 2^{\mathbb N} \sim 2^{\aleph_{0}} \sim \mathfrak{c}}\)

b) znajdź funkcję różnowartościową \(\displaystyle{ \mathbb{Z}\to \mathbb{N}}\).

Branie potęg Cię zaprowadzi donikąd, bo jest niesprzeczne z ZFC, że

\(\displaystyle{ 2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_1}}\).

Co to jest ZFC? Funkcja różnowartościowa? To wiem, jak wygląda, w takim razie nie da się pokazać równoliczności \(\displaystyle{ \mathbb{N}\sim \mathbb{Z}}\) za pomocą tw. Cantora-Bernsteina?

[lukasz.przontka]

ZFC to aksjomatyka Zermelo-Fraenkela teorii mnogości z dołożonym aksjomatem wyboru.

[saszaw90]

ZFC to aksjomatyka Zermelo-Fraenkela teorii mnogości z dołożonym aksjomatem wyboru.

Hm... nie słyszałem o czymś takim.

Czyli nie da się pokazać tej równoliczności za pomocą tw. Cantora-Bernsteina?

[Spektralny]

Podaj jakaś funkcję różnowartościową \(\displaystyle{ f\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{N}}\)

Wówczas:

\(\displaystyle{ |\mathbb{N}|\leqslant |\mathbb{Z}| = |f(\mathbb Z)|\leqslant |\mathbb{N}|}\).

[saszaw90]

Podaj jakaś funkcję różnowartościową \(\displaystyle{ f\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{N}}\)

Wówczas:

\(\displaystyle{ |\mathbb{N}|\leqslant |\mathbb{Z}| = |f(\mathbb Z)|\leqslant |\mathbb{N}|}\).

Nie wiem, czy dobrze zrozumiałem, piszesz, żebym podał jakąś f. różnowartościową, to chodziło Ci o to:

\(\displaystyle{ f(-1)}\)
\(\displaystyle{ f(1)}\)

dla \(\displaystyle{ -1}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1}\)

albo

\(\displaystyle{ f(2)}\)
\(\displaystyle{ f(4)}\)

dla \(\displaystyle{ 2}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 4}\)

[Jan Kraszewski]

Nie wiem, czy dobrze zrozumiałem, piszesz, żebym podał jakąś f. różnowartościową, to chodziło Ci o to:

\(\displaystyle{ f(-1)}\)
\(\displaystyle{ f(1)}\)

dla \(\displaystyle{ -1}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1}\)

albo

\(\displaystyle{ f(2)}\)
\(\displaystyle{ f(4)}\)

dla \(\displaystyle{ 2}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 4}\)

To, co napisałeś, nie jest definicją funkcji, co więcej, nie oznacza tego, co - podejrzewam - chciałbyś, by oznaczało.

Nie wiesz, jak definiuje się funkcję?

JK

[saszaw90]

To, co napisałeś, nie jest definicją funkcji, co więcej, nie oznacza tego, co - podejrzewam - chciałbyś, by oznaczało.

Nie wiesz, jak definiuje się funkcję?

JK

No w takim razie:

\(\displaystyle{ x_1= 2k}\)
\(\displaystyle{ x_2 =2l}\)

\(\displaystyle{ f(x_1)= \frac{2k}{2}=k}\)
\(\displaystyle{ f(x_2)= \frac{2l}{2}=l}\)

\(\displaystyle{ k=l}\)

\(\displaystyle{ x_1=x_2}\)

\(\displaystyle{ x_1= 2k+1}\)
\(\displaystyle{ x_2 =2l+1}\)

\(\displaystyle{ f(x_1)= \frac{(2k+1)+1}{2}=-k-1}\)
\(\displaystyle{ f(x_2)= \frac{(2l+1)+1}{2}=-l-1}\)

\(\displaystyle{ -k-1=-l-1}\)

\(\displaystyle{ x_1=x_2}\)

Ale mi chodziło zupełnie o co innego, pokazać to za pomocą tw. Cantora-Bernsteina, a nie wskazując bijekcję.

[Jan Kraszewski]

No w takim razie:

\(\displaystyle{ x_1= 2k}\)
\(\displaystyle{ x_2 =2l}\)

\(\displaystyle{ f(x_1)= \frac{2k}{2}=k}\)
\(\displaystyle{ f(x_2)= \frac{2l}{2}=l}\)

\(\displaystyle{ k=l}\)

\(\displaystyle{ x_1=x_2}\)

\(\displaystyle{ x_1= 2k+1}\)
\(\displaystyle{ x_2 =2l+1}\)

\(\displaystyle{ f(x_1)= \frac{(2k+1)+1}{2}=-k-1}\)
\(\displaystyle{ f(x_2)= \frac{(2l+1)+1}{2}=-l-1}\)

\(\displaystyle{ -k-1=-l-1}\)

\(\displaystyle{ x_1=x_2}\)

A co to ma być?!

Ale mi chodziło zupełnie o co innego, pokazać to za pomocą tw. Cantora-Bernsteina, a nie wskazując bijekcję.

Po pierwsze, to nie ma być bijekcja, po drugie, to jest właśnie zastosowanie tw. C-B:

Podaj jakaś funkcję różnowartościową \(\displaystyle{ f\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{N}}\)

Wówczas:

\(\displaystyle{ |\mathbb{N}|\leqslant |\mathbb{Z}| = |f(\mathbb Z)|\leqslant |\mathbb{N}|}\).

JK

[saszaw90]

A co to ma być?!

Właśnie to wykazanie funkcji różnowartościowej, czyli jednak nie o to chodziło. W takim razie mam problem ze zrozumieniem: "podaj jakąś funkcję różnowartościową"

[Spektralny]

Czasownik podaj* zaczęca do zdefiniowania dowolnej funkcji, która jest różnowartościowa, tj. spełnia warunek:

o ile tylko \(\displaystyle{ f(x)=f(y)}\), to \(\displaystyle{ x=y}\).


_________________
* , znaczenie 4.

[saszaw90]

Aaaaa, np. \(\displaystyle{ f(x)=5x+2}\) albo \(\displaystyle{ f(x)=x^5-2}\)

te funkcje są różnowartościowe, no i co w związku z tym?

[Spektralny]

Nic, gdyż \(\displaystyle{ f(\mathbb{Z})\not\subseteq \mathbb{N}}\) w tym wypadku.

[saszaw90]

Nic, gdyż \(\displaystyle{ f(\mathbb{Z})\not\subseteq \mathbb{N}}\) w tym wypadku.

Dziękuje. Jeszcze jedno, prosiłbym o sprawdzenie:

\(\displaystyle{ \mathbb{R} \sim \mathbb{R}^{\mathbb{N}}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{R} \sim 2^{\mathbb{N}} \sim 2^{\mathbb{N} \cdot \mathbb{N}} \sim \left(2^{\mathbb{N}} \right)^\mathbb{N} \sim \mathbb{R}^{\mathbb{N}}}\)